recortables

la superficie lateral de un cilindro o de un cono se puede construir recortando una determinada figura en cartulina y enrollándola. sin embargo, con la superficie esférica no se puede hacer, porque tiene una doble curvatura. siempre quedarían arrugas y pliegues.

una superficie cilíndrica extendida es un rectángulo cuyos lados son la altura h y la longitud de la circunferencia de la base, 2·π·r.

un cilindro, en cuanto a la proporción entre su altura y su sección, puede ser más alargado o más achatado. pero su superficie lateral será siempre un rectángulo, cuya forma dependerá de la relación entre 2πr y h.

la superficie cónica da más juego. la distancia entre el vértice y cualquier punto de la circunferencia de la base siempre es igual a la generatriz del cono, g. un conjunto de puntos equidistantes de uno determinado es un arco de circunferencia. por tanto, la superficie del cono extendida será un sector circular cuyo centro es el vértice, y cuyos puntos del arco que lo delimita corresponden a la base del cono.

la longitud de un arco de circunferencia es igual al producto de 2π por el radio del arco -en este caso g- y por el cociente entre el ángulo del arco -al que llamamos α- y el ángulo completo de 360º. ese cociente es como la ‘proporción de tarta’ que desgajamos del total.

sabiendo que la longitud del arco cuyo radio es la generatriz del cono g y cuyo ángulo es α debe ser igual a la longitud de la circunferencia base del cono, igualamos ambas longitudes y obtenemos que la relación α/360 es igual a la relación entre el radio y la generatriz, r/g.

este factor de proporcionalidad debe ser siempre mayor que 0 y menor que 1. el primer caso es obvio, porque si el radio de la base es nulo no hay cono. y en el segundo, si el radio de la base fuera mayor que la generatriz tampoco se podría formar un cono tridimensional. pensadlo y veréis cómo es así...

por tanto, para que exista el cono, r/g debe estar comprendido entre 0 y 1. y la forma de la superficie extendida del cono dependerá de que r/g sea mayor o menor que ½. en el primer caso, el ángulo abarcado será menor que 180º, y el cono será más estrecho y alto. en el segundo caso, el ángulo será mayor que 180º y será un cono más achatado.

arquímedes

todos conocemos la formulación del principio de arquímedes, pero quizá no nos hemos parado a pensar lo que significa en la práctica...

cuando se sumerge en agua un cuerpo de mayor densidad que la del agua, se hunde; a mayor velocidad cuanto mayor sea la densidad de ese cuerpo.

imaginemos, por ejemplo, una bola de hierro. un volumen de agua igual al volumen de esa bola de hierro, pesa menos que la bola. por tanto, el empuje vertical hacia arriba es menor que el peso de nuestra bola, y por eso se hundirá.

cuando el cuerpo sumergido tiene una densidad inferior a la del agua, flota en ella como sabemos. pero esta situación da más juego que la anterior, pues una parte del cuerpo queda sumergida en el agua y otra sobresale.

para objetos muy ligeros, como el pato de goma de la hermanita de esther que veis en la primera ilustración de esta entrada, la mayor parte de su volumen queda sobre el agua.

pensemos ahora en un tronco de madera como el que transporta al pitufo por el río. si lo empujamos hasta el fondo y lo soltamos, inmediatamente subirá. y lo hará hasta llegar a un estado de equilibrio, en el cual un volumen de agua igual al volumen de madera sumergida pesa lo mismo que el taco de madera entero.

el principio de arquímedes explica por qué el volumen sumergido de los icebergs es mucho mayor que el volumen que sobresale. esto se debe a que la densidad del hielo es menor que la del agua líquida, pero no mucho menor. si la del agua es de 1000 kg/m³, la del hielo es de 917 kg/m³.

la parte sumergida será igual a un volumen de agua líquida que pese tanto como el iceberg. eso quiere decir que el 91.7% de su volumen queda sumergido, y tan sólo el 8.3% sobresale. de ahí viene la expresión ‘la punta del iceberg’, para referirse a un hecho aparentemente poco importante que oculta un fenómeno de mucha mayor magnitud.

en google podéis encontrar imágenes impresionantes que muestran cómo bajo unas pequeñas puntas hay masas gigantescas de hielo, que hacen muy peligroso chocar con ellas por la inercia que ofrecen. por eso tintín pasa tanto peligro cuando trata de amerizar con su avioneta en el océano ártico.

tarde de dibujo

el domingo 25 de mayo me dediqué a hacer un dibujo de un monumento de mi elección, para un concurso del foro de trini tinturé. me decidí por el hipercubo, al que había dedicado una entrada poco tiempo antes. por allí pasaba, además, la brujita buena emma. ;)

aunque es una figura en la que todas las líneas que lo delimitan son rectas, preferí no utilizar la regla. a pesar de que el pulso no es mi fuerte, a mano alzada quedaba más espontáneo, menos frío... eso creo.

tenía en mente otro dibujo, y lo hice ese mismo día. me apetecía hacer un retrato de una prima mía que vive en jumilla. en realidad es prima-sobrina o como se diga, ya que es hija de un primo mío, pero yo la considero prima.

utilicé una foto suya del año pasado, aunque este año está aún más guapa si cabe. tiene 17 años, y a esa edad se cambia de un año para otro...

después de hacer el dibujo del monumento tenía la mano cansada, y pensaba que era mejor dejar el retrato para otro día. pero por otro lado, ya que estaba en la dinámica de dibujar, me puse a ello y no me quedó peor que otros retratos que he hecho... se lo enseñé a ella por facebook y le gustó. se lo daré la próxima vez que vaya.

aprovecho esta entrada para publicar un premio que me han concedido dos chicarronas del norte, imanara y lucía. :)

hay que responder a unas preguntas, algunas de las cuales ya me las han hecho otras veces, pero ya se sabe que las respuestas pueden variar según el estado de ánimo...

1) ¿Por qué decidiste hacer un blog?

para contar cosas que si las contaba en un e-mail a un grupo de amigos, no me contestaba ni rita. se oía sonido de grillos.

2) ¿Cuál es el blog que más te gusta visitar?

todos, pero sobre todo los de las chicas más reservadas, para poder deducir cosas sobre ellas. ;)

3) ¿En qué país te gustaría vivir?

vivir, lo que se dice vivir, en españa estoy bien.

4) ¿Cómo definirías tu blog?

se asemeja a un sueño, en el sentido de que voy pasando de unos temas a otros sin ninguna lógica.

5) ¿Cuál es tu mayor miedo?

tener que estudiarme otra vez la física de 1º de carrera. cuatro tomos, dos para cada parcial, anda que se quedaron a gusto.

6) ¿Tienes proyectos en mente?

ser profesor de manera más profesional y a mayor escala, pero está todo tan complicado...

7) Tu mayor sueño es...

algún sueño romántico de los que tengo algunas noches y me hacen levantarme con sensaciones agradables.

8) ¿A qué lugar te gustaría viajar y por qué?

londres. mi inglés es más o menos bueno, pero vaya chasco me voy a llevar cuando empiecen a hablarme a toda caña y no me entere de nada.

9) De pequeñ@, ¿qué querías ser de mayor?

lo de ser profesor siempre me atrajo, especialmente en mis últimos años de colegio...

10) Un consejo para alguien que empiece en este mundillo blogger.

dejarse llevar, no tratar de proyectar ninguna imagen en particular. en los blogs podemos ser nosotros mismos.

11) Algo que siempre has querido hacer pero nunca te has atrevido.

preguntarle a alguna dependienta que me guste a qué hora sale, para tomar un café... ;)

añado otra más para que sean 12, que es un número más bonito. a ver qué se me ocurre...

12) Algo que antes te pareciera muy importante y que ahora te rías de ello.

cuando era más joven me daban cierta envidia las personas muy abiertas, que eran el alma de la fiesta allá donde fueran... ahora ya no, ahora pienso que cada uno es como es y punto.

este premio se lo voy a conceder a marta. bien merecido lo tienes, simpática! :)

y ahora voy a responder un divertido cuestionario que me ha pasado eva, desde el blog opiniones incorrectas. se trata de imaginar lo que sería si yo fuera...

un animal: una cebra, porque soy un poco indomable. ;)

un libro: las aventuras de sherlock holmes.

un coche: un renault 5. era muy moderno para la época en que empezó a fabricarse.

una película: con la muerte en los talones de alfred hitchcock.

un árbol: un olivo milenario en grecia.

una canción: home by the sea de genesis.

una bebida: baileys, que es como un batido con un toque de alegría. ;)

una comida: papilla de cereales y chocolate de la marca ‘prodial’, que ya no existe.

una prenda de vestir: una camiseta blanca. discreta y versátil.

un cuadro: la escuela de atenas, de rafael.

un edificio: las pirámides de egipto entran en la definición de edificio?

este cuestionario se lo paso a mi amiga princesa nadie, que dará unas respuestas más sensatas que las mías. :)

tres dimensiones

no, en realidad no vamos a hablar de películas en 3d, ni de cuadros que aparentemente cobran vida... vamos a hablar de figuras geométricas tridimensionales.

ayer hice un tetraedro de cartulina, para poder explicarle mejor algunas cosas a mi alumna. un tetraedro es un poliedro regular formado por cuatro caras con forma de triángulo equilátero.

hay dos conceptos que no se deben confundir:

• la altura de la cara triangular de la pirámide, que se utiliza para calcular su área exterior.
• la altura de la pirámide, desde uno de sus vértices hasta el centro de la cara opuesta, que se emplea para calcular su volumen.

aquí tenemos la pirámide vista en planta, con una cara de cada color.

nos vamos a situar en una de sus caras. primero calcularemos la altura de la cara, a la que llamaremos h minúscula. si llamamos l al lado del triángulo -es decir, la arista del tetraedro-, se forma un triángulo rectángulo de catetos l/2 y h, y de hipotenusa l. aplicando el teorema de pitágoras, obtenemos el valor de h, que es (√3/2)·l. su longitud, de manera aproximada, viene a ser un 87% de la longitud de la arista.

ahora tenemos que calcular la altura de la pirámide, a la que vamos a llamar H mayúscula. para ubicarnos, vamos a hacer un dibujo en sucio de la pirámide. nos damos cuenta de que se forma un triángulo rectángulo de catetos la altura H y el radio de la circunferencia circunscrita a la cara, que denotaremos con la letra r; y de hipotenusa la arista l.

primero tenemos que calcular el valor de r. volvemos a situarnos en una cara del tetraedro. nos damos cuenta de que el triángulo rectángulo que se forma es justamente la mitad de un triángulo equilátero. sus catetos serán las mitades de la arista y del radio que buscamos, l/2 y r/2, y su hipotenusa será r. despejamos y obtenemos el valor de r.

y por fin, en el triángulo rectángulo de catetos H y r, y de hipotenusa l, lo único que no conocemos es H. aplicamos de nuevo el teorema de pitágoras, y hallamos el valor de H. es igual a √(2/3)·l, aproximadamente un 82% de la longitud de la arista.

en los problemas de figuras tridimensionales no tienes total libertad para inventarte los datos. y menos cuando se trata de poliedros regulares como el tetraedro. si das un valor para la arista, la altura de la cara y la altura del tetraedro te vienen dadas automáticamente, como cuando aplicas una fórmula en excel. los niños aún no saben calcularlas y tienes que dárselas tú para que puedan hacer los problemas. pero se las tienes que dar bien calculadas, o por lo menos con la suficiente aproximación. y es que entre los problemas que ponen en el colegio de mi alumna he visto más de uno mal planteado, vamos, que son figuras imposibles.

leer un libro

cuando lees un libro, da la sensación de que cuanto más avanzas más rápido vas. me explico: parecerá una tontería, pero cada página que se suma a las ya leídas, automáticamente se resta de las no leídas. cada vez que el montón de páginas leídas engorda, el montón de páginas no leídas simultáneamente adelgaza.

me pregunté cómo se podría expresar la proporción de páginas leídas frente a páginas no leídas. si un libro tiene un total de N páginas y llamamos x al número de páginas leídas en un momento determinado, esa proporción será igual al cociente x/(N–x).

esta función nos interesará estudiarla en el intervalo entre x=0 (aún no hemos empezado a leer) y x=N (hemos terminado de leer el libro). será una función con derivada primera positiva, es decir, creciente; y con derivada segunda también positiva, lo que quiere decir que no sólo crece sino que cada vez lo hace de manera más pronunciada.

nuestra función empieza valiendo 0, crece de manera moderada hasta x=N/2 (en la mitad del libro), y a partir de ahí su crecimiento se dispara, hasta hacerse infinito en x=N, donde hay una asíntota vertical.

en la gráfica se refleja este crecimiento. y esto es para el caso en que leemos a un ritmo constante. no digamos cuando se trata de un libro que nos apasiona, y cada día leemos más páginas que el anterior.

cambiamos de asunto. la simpática queca me ha concedido este premio desde su precioso blog de muñecas. gracias por pensar en mí!! :)

primero hay que responder a varias preguntas. vamos allá...

1) ¿Cómo definirías tu blog?

improvisado, escribo sobre cosas que se me van ocurriendo, sin ninguna planificación...

2) ¿Cuánto tiempo dedicas al blog a la semana?

suelo publicar cada semana más o menos. las entradas con cálculos y gráficas hechas por mí a mano llevan un poco más de tiempo.

3) ¿Cuál es la entrada que más te gustó escribir?

escribiendo esta historia real me quedé muy pero que muy a gusto. :D

4) ¿Y la que más te costó?

con las entradas sobre películas sufro mucho porque me da por contarlas con todo detalle, pero ésta en concreto se lleva la palma.

5) ¿La que te gustaría escribir y aún no has hecho?

supongo que hay cosas que me cuesta más contar, pero ya encontraré la manera...

6) ¿Quién te gustaría que te siguiera si no lo hace aún?

posiblemente hay familiares y viejos amig@s que me conocerían aún mejor si me leyeran, aunque... no sé si es buena idea.

7) Cada vez que escribes una entrada ¿piensas que desnudas un poco tu alma?

lo de ‘desnudar el alma’ es una frase tópica que no me gusta mucho, pero sí es verdad que algunas entradas son claramente autobiográficas.

8) ¿Cuál es tu blog de referencia?

supongo que nos influimos unos a otros, y eso es una cosa buena, es enriquecedor.

9) ¿Te gustaría vivir sólo del blog?

no, aunque las entradas sobre temas de matemáticas me sirven de ensayo para las clases que doy...

10) ¿Qué es lo que más te gusta de tu blog?

no lo sé. soy muy autocrítico, y cuando releo una entrada antigua, la mayoría de las veces no me siento muy satisfecho.

11) ¿Y lo que debes mejorar?

constantemente se mejora, nunca se llega a un punto en el que se haga todo perfecto.

añado otra más para que sean 12, un número más bonito y con más divisores que 11, que es primo.

12) ¿Cuál de tus entradas está basada en recuerdos más antiguos?

en mi caso, la de mis años de parvulario.

ahora se lo tengo que conceder a varias personas. esta vez va a ser para bertha, para merchi y para elanor-arien.

tarta

después de una entrada titulada ‘pastel’, ahora viene otra titulada ‘tarta’. :P

en un libro de lengua que tuve en egb, para ilustrar la diferencia entre el pasado, el presente y el futuro, ponían unas viñetas de una niña que iba a celebrar su cumpleaños, según se intuía por el contexto. el día anterior pensaba “mañana comeremos tarta” (futuro); el día de la fiesta, con la tarta delante, decía “hoy comemos tarta” (presente); y al día siguiente recordaba “ayer comimos tarta” (pasado).

un ejemplo muy didáctico que a mí desde luego me resultó de gran utilidad. en la foto que veréis ahora, yo me encontraba en esa misma situación. dado que la tarta tenía cuatro velas, deduzco que cumplía cuatro años. soy único haciendo deducciones, si es que de tanto leer historias de sherlock holmes, algo se me ha pegado. :P

era, por tanto, 1 de junio de 1981. ha llovido desde entonces... y mi hermana, que salía conmigo en la foto, tenía doce años, o para ser más exactos once para cumplir doce.

y hoy casualmente es 1 de junio, sólo que del año 2014. cuántos cumplo, os dejo que lo calculéis. podría ser un problema de matemáticas de esos con los que doy el tostón a los niños que sufren mis clases particulares...

ya tengo preparada la piñata llena de chuches. podéis coger lo que más os guste...