experimento

es raro en mí dormir por la noche ‘de un tirón’, sin despertarme ni una vez. el que esto suceda más pronto o más tarde es algo bastante aleatorio. a veces puede deberse a algún estímulo del que no he sido consciente: un ruido, una ráfaga de luz... o quizá a estar pasando frío o calor por no tener la cantidad de ropa adecuada.

en la primera fase del sueño, éste es más ligero, y en mi caso especialmente. para conciliar el sueño se necesita un estado de relajación corporal y mental difícil de conseguir y fácil de romper.

en cualquier caso, las horas a las que me despierto en mitad de la noche son muy variables y no parecen seguir ningún patrón. tenía hace tiempo la idea de anotarlas para hacer un estudio estadístico... una locura, lo sé. ;)

y así lo hice: anoté las horas a las que me despertaba durante 30 días seguidos. algunas noches me despertaba dos veces o más incluso, pero para simplificar sólo he contado la primera en esos casos.

aquí las tenéis, pasadas a minutos contados desde las 0:00, para que estén en unidades homogéneas y podamos trabajar con ellas. para ello multiplicamos la cifra de las horas por 60 y le sumamos los minutos. lo hago en la primera de ellas para que se vea, en el resto se hace igual.

5:09→5·60+9=309 / 3:00→180 / 2:32→152 / 3:59→239 / 5:30→330 / 2:15→135 / 4:35→275 / 3:07→187 / 1:57→117 / 2:56→176 / 3:08→188 / 5:01→301 / 3:39→219 / 2:01→121 / 5:55→355 / 3:02→182 / 2:07→127 / 2:33→153 / 5:42→342 / 4:46→286 / 4:27→267 / 4:13→253 / 6:10→370 / 3:18→198 / 2:24→144 / 3:54→234 / 2:43→163 / 5:44→344 / 5:14→314 / 4:50→290

lo primero que calcularemos con estos datos es la media. es tan sencillo como sumarlos todos y dividir el resultado entre el número de datos.

media: μ=[∑xi]/n

μ=[309+180+152+239+330+135+275+187+117+176+188+301+219+121+355+182+127+153+342+286+267+253+370+198+144+234+163+344+314+290]/30=231.7

lo que acabamos de calcular es el promedio de las horas que fui apuntando cada día durante un mes. para pasarla al formato hh:mm, deshacemos el cambio. dividimos entre 60, y la parte entera serán las horas. a continuación, multiplicamos la parte decimal por 60, y eso serán los minutos.

231.7/60=3.861666... 0.861666·60=51.7

hora promedio≈3:52

ahora vamos a calcular algo más complicado, que es la varianza. para ello hallamos la diferencia de cada dato con la media, y esa diferencia la elevamos al cuadrado. sumamos todas esas diferencias elevadas al cuadrado, y dividimos entre el número de datos.

varianza: σ²=[∑(xi–μ)²]/n

σ²=[(309–231.7)²+(180–231.7)²+(152–231.7)²+(239–231.7)²+(330–231.7)²+(135–231.7)²+(275–231.7)²+(187–231.7)²+(117–231.7)²+(176–231.7)²+(188–231.7)²+(301–231.7)²+(219–231.7)²+(121–231.7)²+(355–231.7)²+(182–231.7)²+(127–231.7)²+(153–231.7)²+(342–231.7)²+(286–231.7)²+(267–231.7)²+(253–231.7)²+(370–231.7)²+(198–231.7)²+(144–231.7)²+(234–231.7)²+(163–231.7)²+(344–231.7)²+(314–231.7)²+(290–231.7)²]/30=6,014.41

la varianza la necesitamos para calcular, a partir de ella, la desviación típica. ésta será, simplemente, la raíz cuadrada de la varianza.

desviación típica: σ =√σ²

σ=√6,014.41=77.552627≈1h18min

la mayoría de los valores se encontrarán en el intervalo μ±σ, es decir, a una distancia de la media menor que la desviación típica por exceso o por defecto.

en nuestro caso, si a la hora promedio le sumamos y restamos el margen de tiempo representado por la desviación típica, obtendremos estas horas:

μ+σ=3:52+1:18=5:10

μ–σ=3:52–1:18=2:34

aquí tenéis la gráfica que resume todo este estudio. :D

los días...

los días pasan volando...

no sabemos lo que cada día puede depararnos...

la única manera de saberlo es seguir el camino hasta el final...

...aunque a veces nos parezca que damos vueltas en círculo.

habrá días fríos...

días cálidos...

también habrá días de lluvia, pero después saldrá el arco iris.

lo cierto es que los días vuelan...

y para que no perdamos la cuenta, nada mejor que tener un calendario a mano. por eso este año he vuelto a hacer un calendario artesanal con imágenes de esther. aquí lo comparto con todas vosotras, y aprovecho para desearos unas felices fiestas.

gracias por la sugerencia, arien. :)

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vacaciones

esta semana dan las vacaciones de navidad en los colegios. me ha parecido un buen momento para publicar un relato navideño que escribí el año pasado, para un concurso en el foro de trini tinturé. pero antes quiero hacer algunos comentarios...

en 1º y 2º de egb tuve un profesor muy entrañable. eso no significa que no fuera severo en ocasiones. una vez me cogí una rabieta por algo que me dijo que no me gustó, no me acuerdo. y el caso es que le llamé “viejo barbudo”. él no se enfadó, sino que trató de razonar conmigo y apaciguarme.

lo irónico del asunto es que este profesor era bastante joven, al menos eso dice mi madre. yo entonces no distinguía mucho, y además la barba quizá le hacía parecer mayor de lo que era... en cualquier caso, él debió de pensar: “madre mía, he acabado la carrera de magisterio hace nada y ya me están llamando viejo! menudo porvenir tengo”.

una vez hicimos en clase un juego que consistía en lo siguiente: cada uno pensaba en una profesión y salía a la tarima a hacer mímica, para que los demás adivinaran de qué profesión se trataba. cuando me tocó a mí, me puse a hacer gestos de romper el cristal de un escaparate y echar en un saco todo lo que había allí.

como nadie sabía qué profesión era ésa, al final tuve que desvelar que estaba haciendo de ladrón. el profesor me dijo, muy indignado, que ser ladrón no era una profesión. y todos mis compañeros se partían de la risa. yo qué sabía?? supongo que vi en algún tebeo el típico ladrón con su antifaz, y me hizo gracia...

antes de pasar al relato, que está basado en esos felices años, os dejo una preciosa ilustración navideña dibujada por trini tinturé. tengo la enorme suerte de poseer el original. :*

Es una lata esto de estar en 1º de EGB. Todavía nos quedan muchos cursos por delante para llegar a ser como los “más mayores” de todos, los de COU. Ya son más altos que los profesores, se afeitan y todo.

Pero bueno, habrá que tener paciencia. Hoy ha sido un día divertido en el colegio. Hemos juntado nuestras mesas hexagonales (como los cubículos de la colmena de la Abeja Maya) y hemos empezado a hacer un mural de Navidad entre todos. Y es que pronto va a ser Navidad. La semana que viene nos dan las vacaciones.

Por la tarde, a la salida del colegio, mis papás me han llevado con ellos a Galerías Preciados. Estaba todo lleno de luces y de guirnaldas. Hemos bajado al supermercado y hemos comprado mucho turrón y polvorones. Luego hemos pasado por la juguetería y por la librería, para que eligiera los regalos que voy a pedir a los Reyes Magos.

He visto una miniatura del Renault 5 en color amarillo que me ha encantado. Se le abre todo, como a mí me gusta: las puertas, el maletero y el capó. Lo voy a poner seguro en la carta a los Reyes. También les voy a pedir el nuevo cuento de los pitufos, titulado los pitufos olímpicos. Voy a escribir la carta esta misma noche, cuando termine de cenar.

Habrá que recibir bien a los Reyes Magos. Podríamos dejarles un poco de turrón y polvorones de los que hemos comprado. Si no se lo come todo mi hermana antes de ese día, que es muy tragona.

Mañana en el colegio seguiremos con el mural de Navidad, ¡qué divertido! Los mayores seguro que no hacen cosas tan molonas. Creo que tienen que estudiar unas asignaturas muy feas con nombres muy raros. Pensándolo bien, no está tan mal esto de ser niño.

cobre

cuando nos encontramos una moneda de cobre que se le ha caído a alguien, podemos sentirnos tentados de decir la típica gracia: “esta moneda hay que guardarla, que luego genera intereses!”. :P

las monedas de 1, 2 y 5 céntimos se diferencian por su tamaño, y yo sólo sé calibrarlo comparativamente. es decir, veo una de esas monedas aislada, y dudo: es de 1 o de 2? es de 2 o de 5? siempre tengo que mirarlo.

estaría genial si esas monedillas las fuéramos metiendo en una hucha, y de manera mágica generasen intereses. esta hucha con forma de autobús inglés me la regalaron, y se ve en la foto mía que puse varias entradas más abajo...

vamos a suponer que depositamos monedas periódicamente, y al cabo de cierto tiempo las sacamos de la hucha con sus intereses incorporados. esta situación, en matemáticas financieras, equivale a calcular el valor final de una renta.

para simplificar supondremos que todas las monedas son de un céntimo. a cada período que pasa, su valor se multiplicará por 1+i, siendo i el tipo de interés. por eso, cuanto antes se haya depositado una moneda, mayores serán sus intereses acumulados.

esta cantidad se calcula utilizando la fórmula que nos da la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. pero puede que no nos acordemos de cómo era esa fórmula. así que haremos otra cosa...

primero vamos a hacer una sencilla división de polinomios: 1 entre 1–x.

como vemos, el cociente es justamente lo que buscamos: la suma de los primeros términos de una progresión geométrica. nos damos cuenta, además, de que el resto siempre está elevado a un grado más que el último término que hemos añadido al cociente.

así pues, despejaremos el cociente utilizando aquella conocida regla que decía...

hemos expresado esta suma de términos de una manera mucho más fácil de manejar. ahora sustituimos x por 1+i, y obtenemos la fórmula del valor final de nuestra renta.

y ya sólo nos queda que alguien invente esa hucha mágica... ;)

ochos

mi amiga rosana me ha dado la idea para esta entrada. hace poco tejió un bonito jersey trenzado -también llamado ‘de ochos’- para uno de sus nenucos. me fijé en que los ‘ochos’ seguían un curioso patrón geométrico que os explicaré en breve...

los jerseys de ochos parece que se llevan esta temporada. si no, fijaos en vanessa lorenzo, que casualmente ha posado para el último número de hola fashion con dos jerseys de ese tipo.

como decía, la forma de los ochos me resultaba familiar. fijaos en la función senoidal, que se repite cíclicamente en intervalos de período 2π, y cuyos valores oscilan entre –1 y 1.

sen(x)

la función opuesta a la senoidal será la imagen especular de ésta, y tendrá las mismas características de amplitud y período.

–sen(x)

si superponemos la función senoidal y su opuesta, obtendremos una gráfica cuya forma se asemeja a los ochos del tejido trenzado.

±sen(x)

y si repetimos este patrón por todo el plano, de tal manera que los ‘ochos’ de dos gráficas vecinas sean tangentes entre sí, el resultado será el siguiente:

±sen(x)+2n

para obtener esta disposición, cada nueva ‘trenza’ formada por la senoidal y su opuesta deberá estar situada a 2 unidades de distancia de su vecina, pues ésa es la diferencia entre el máximo y el mínimo de las senoidales.

y ya sólo nos queda girar el dibujo 90º para que se vean los ochos en vertical, como en un jersey.

este patrón geométrico también aparece en las trenzas que se hacen las nenas en el pelo...

la trenza que veis es de una amiga que tenemos en casa desde hace tiempo. aunque creo que todavía no tiene nombre. alguna sugerencia?

cenicero

el otro día fui a una papelería a por unas cosas, y vi por casualidad esta pasta para modelar...

cuando estaba en 1º de egb, hice un cenicero de arcilla que luego pinté de naranja con motas verdes. por qué elegí esos colores, es algo que se podría psicoanalizar... recuerdo que los hicimos en clase, en esas mesas hexagonales que teníamos, y el profesor nos proporcionó los materiales.

ese cenicero lo guardé durante mucho tiempo, aunque ahora ya no sé dónde está. y por eso se me ocurrió hacer otro igual... bueno, igual nunca iba a ser, pero intentaría aproximarme lo más posible.

así pues, lo primero que hice fue dar forma a la pasta. la utilicé toda, con lo cual me salía un cenicero más grande que el que hice de niño. pero si quitaba un poco, me iba a sobrar una pequeña cantidad con la que no habría sabido qué hacer...

tardó dos días en secarse. el siguiente paso fue aplicarle el color. las acuarelas no son la herramienta más adecuada para pintar un objeto de cerámica, pero bueno.

además la gama de colores era muy reducida. el naranja que había era demasiado amarillento, así que lo mezclé con rojo y amarillo. el verde era demasiado oscuro, y por eso lo mezclé con amarillo y azul. lo bueno de esas mezclas es que así quedaba más... jaspeado, podríamos decir.

tenía muchas ganas de terminarlo, por lo que fui un poco impaciente y le apliqué el barniz cuando la acuarela aún no estaba seca del todo. además es que inhalar barniz no es demasiado sano, por lo que esa fase quería quitármela de encima cuanto antes.

y éste es el resultado: un cenicero que muy bien podría estar hecho por un niño de siete años, al igual que el original en el que está inspirado. ;)

recuerda

spellbound -recuerda es su título en españa- es una película del año 1945 dirigida por alfred hitchcock.

el director de una clínica mental del estado americano de vermont, el doctor murchison (interpretado por leo g. carroll), decide abandonar el cargo debido a su avanzada edad. se presentará como sustituto el doctor edwardes (gregory peck).

la doctora petersen (ingrid bergman) pronto entabla amistad con el nuevo director. pero ella notará algunas actitudes extrañas en él. en ocasiones sufre ataques de ansiedad, que como se descubrirá después, tienen en común el producirse al observar objetos con varias líneas rectas paralelas entre sí.

poco después, la doctora petersen descubre que la firma actual de edwardes es diferente a su firma en la dedicatoria de un libro escrito por él que se encontraba en la biblioteca. eso quiere decir que alguien está suplantando al verdadero doctor edwardes. esa sospecha ya había empezado a surgir cuando una antigua paciente suya le llamó por teléfono, pero él la despachó asegurando no conocerla.

la doctora petersen, sin embargo, quiere ayudar al hombre que suplanta a edwardes, por quien ella ha tomado un gran afecto. su verdadero nombre es ballantyne, aunque debido a su amnesia no logrará recordarlo hasta más adelante. él le confiesa haber matado al verdadero doctor edwardes, pero ella está convencida de que sufre un complejo de culpabilidad que le ha hecho crear esa falsa historia en su mente.

el protagonista decide huir de la clínica, para no crear problemas a nadie. la doctora consigue localizarle, pero deben huir porque se ha descubierto que el doctor edwardes fue asesinado, y su asesino le está suplantando.

la doctora petersen decide acudir a la residencia del doctor brulov (michael chekhov), quien había sido profesor de ella. este doctor parece un hombre muy bondadoso y parlanchín, a la par que despistado.

a medianoche, ballantyne se levanta con una navaja de afeitar en la mano. el doctor brulov estaba despierto, en su mesa de despacho. en un tono muy campechano, le comenta que está trabajando mientras se toma un vaso de leche con unas galletas, y le pide que le acompañe. se acerca a la cocina y le sirve la leche mientras le cuenta cosas sin parar de hablar ni un instante. ballantyne se la toma...

al amanecer, la doctora petersen se encuentra a su antiguo profesor durmiendo en un sillón. él despierta y le explica lo sucedido la pasada noche. el doctor brulov notó intenciones agresivas en ballantyne y le preparó un vaso de leche con bromuro, que le dejó completamente dormido. su verborrea tenía el objetivo de distraerle mientras tanto...

como vemos, el doctor brulov se hacía el tonto, pero de tonto no tenía un pelo. y no acaba ahí la cosa: a continuación le revela a la doctora petersen que está al corriente del asesinato del doctor edwardes, y sabe que ella está encubriendo al impostor.

la doctora suplica a su mentor que no llame a la policía sin antes darle la oportunidad de recordar qué es lo que ocurrió en su encuentro con el doctor edwardes. al final el doctor brulov accede de mala gana. entre los dos, tratan de curar a ballantyne de su amnesia.

una noche, ballantyne tiene un sueño muy complicado y oscuro que puede dar algunas pistas. en la película, ese sueño se representa con unas ilustraciones realizadas para la ocasión por nuestro pintor salvador dalí.

a partir del análisis del sueño, entre los tres deducen que la tragedia tuvo lugar en una pista de esquí llamada “gabriel valley”. la doctora petersen y su protegido deciden desplazarse a ese lugar. una vez allí, ballantyne logra recordar que él y el doctor edwardes estuvieron esquiando juntos en aquella pista, pero este último tuvo la desgracia de caer accidentalmente por un precipicio.

las marcas de los esquíes sobre la nieve, además, estaban conectadas con otro desgraciado accidente: el protagonista, en su infancia, causó involuntariamente la muerte de su hermano menor al deslizarse por una barandilla. eso explica dos cosas: su fobia a las líneas rectas paralelas de la que habíamos hablado, y la paranoia de ser el asesino del doctor edwardes creada en su mente.

en este proceso de rescatar sucesos pasados de la memoria, el protagonista logra además recordar su verdadero nombre: john ballantyne.

cuando parece que todo se ha aclarado, y por fin la doctora petersen y ballantyne recuperan la felicidad tras sus desventuras, surge una nueva información sobre el caso: han encontrado el cuerpo del doctor edwardes, con una bala en su interior. eso vuelve a acusar a ballantyne, quien se encontraba con él antes de su muerte.

así, el doctor ballantyne -quien era compañero de profesión de edwardes y estaba cualificado para ocupar el cargo de director de la clínica- es detenido. volverá a ocupar su cargo el doctor murchiston. éste, en una conversación en la que trata de consolar a la doctora petersen, revela involuntariamente haber conocido al difunto doctor edwardes.

la doctora se da cuenta de este desliz de murchiston. alertada por ello, analiza el sueño de ballantyne, para llegar a la conclusión de que el verdadero asesino de edwardes fue murchiston, motivado por celos profesionales.

a continuación, acude al despacho del director, quien la recibe con una visible frialdad. ella le asegura tener la solución del caso, y él finalmente accede a escucharla, sintiéndose incómodo y reticente. cuando se ve descubierto y acorralado, amenaza a la doctora petersen con una pistola. ella mantiene la sangre fría y le hace ver que ese segundo asesinato tendrá una pena mayor por ser premeditado, y logra abandonar el despacho antes de que él se decida a disparar.

como veis, una razón por la que escribo pocas entradas sobre películas es mi incapacidad para contarlas de manera resumida. ;) os recomiendo que la veáis, sobre todo si os interesa el psicoanálisis de freud.

más sueños

me he decidido a escribir esta entrada a raíz de un curioso sueño que tuve el otro día: me ponían en un examen un problema de una viga. el clásico problema de estática, de los que hice cientos hace años...

esta viga que se encuentra tintín está apoyada sobre el suelo en toda su longitud, por lo que su carga se distribuye uniformemente sobre dicha longitud de contacto.

las vigas que aparecen en los problemas clásicos están colocadas sobre dos o más apoyos, y hay que calcular las reacciones en los mismos. quien dice una viga, dice un tronco o cualquier otro objeto alargado.

en el enunciado del examen de mi sueño, aparecía la viga representada como una línea gruesa horizontal sobre unos pequeños triángulos, que eran los apoyos. exactamente como lo hacíamos en la carrera. a veces los sueños sorprenden por su realismo.

una de las condiciones necesarias para que la viga esté en equilibrio es que la suma de las fuerzas sea cero.

si llamamos P al peso de la viga, las reacciones sobre los dos apoyos deberán sumar P. si los apoyos estuvieran situados simétricamente respecto a ambos extremos de la viga, la reacción en cada uno sería la mitad del peso, P/2. pero eso es un caso particular, y nosotros vamos a estudiar el caso más general.

llamaremos x a la reacción en el apoyo derecho. para que las dos reacciones sumen P, la del apoyo izquierdo deberá ser P–x.

a continuación aplicaremos la otra condición de equilibrio: la suma de momentos debe ser cero.

el momento de una fuerza respecto a un punto es el producto de la fuerza por la distancia desde el punto dado hasta el punto de aplicación de dicha fuerza. su signo algebraico dependerá del sentido de los vectores... lo de la regla del tornillo... es un poco lioso, si alguien quiere que se lo explique en privado, que me lo diga. ;)

a es la distancia desde el extremo izquierdo de la viga hasta el primer apoyo, y b es la distancia entre el primer y el segundo apoyo. L es la longitud de la viga, y su peso se puede considerar concentrado en su centro de gravedad -es decir, en su punto medio-.

tomamos momentos respecto al punto donde se encuentra el primer apoyo, y los igualamos a 0. de esa manera hallamos el valor de x, que será una fracción de P. por diferencia calculamos la otra reacción, P–x. se puede comprobar que se obtienen los mismos resultados tomando momentos respecto a cualquier otro punto.

muchos de mis sueños son de carácter académico. a veces sueño con notas de exámenes que no se publican, o que sí se publican pero no me atrevo a ir a mirar. en la universidad, en muchas ocasiones iba con la incertidumbre de si mi número de matrícula iría seguido de un 4 o de un 5, y eso me ha marcado. :D

sigo con el sueño recurrente de evitar ir a clase de una asignatura determinada, por miedo al profesor, a la propia asignatura, o a saber qué. en esos sueños, a medida que avanza el curso, el miedo a ir a esa clase aumenta exponencialmente. la bola de nieve se va haciendo más gorda...

hace un mes tuve una cena de antiguos alumnos del colegio. y si ya antes soñaba con mis compañeros, ahora aún más.

aunque últimamente he soñado, ya en dos ocasiones por lo menos, que me incorporaba a un nuevo colegio. creo que a partir de ahora va a ser uno de mis sueños recurrentes. y un sueño esperanzador, intuyo, ya que me ha producido sensaciones agradables.

amor cuántico

sonia fernández-vidal es una doctora en ciencias físicas que ha alcanzado cierta fama como escritora de divulgación.

su primera novela, la puerta de los tres cerrojos, fue un gran éxito. a través de una historia dirigida al público más joven, la autora explica de manera accesible los principales conceptos de la mecánica cuántica.

un niño de nombre niko, una mañana se desvía de su camino hacia el colegio, y por azar entra en el mundo de los elfos. un hada de nombre quiona le guía a través de ese mundo. el hada tiene una mezcla de dulzura y socarronería que enamora a niko, y le motiva a aprender los conceptos tan complicados que allí le explican. real como la vida misma: no hay nada como tener a alguien que te motive...

posteriormente se publicó quantic love. de nuevo la autora se sirve de una historia juvenil para introducir al lector en el complejo mundo subatómico. la diferencia es que esta novela es para un público un poco más crecido que la anterior...

una chica algo insegura de nombre laila viaja a suiza para trabajar de camarera en la cafetería de un centro científico, y de ese modo conseguir algo de dinero que le permita costear su primer año en la universidad. allí se debate entre dos chicos que la atraen de diferente manera: un periodista de nombre alessio, y un estudiante muy aplicado y aparentemente poco interesado en historias románticas, llamado brian. no puedo evitar mencionar a angie, la ‘loca’ compañera de habitación de laila, que me pareció entrañable.

en esta novela hay mucho amor, sin que falte la pasión... cuando pregunté en el corte inglés si les quedaba algún ejemplar, la dependienta me dijo que tenía que preguntar en la sección de adultos. yo le dije que me constaba que era una novela juvenil, y al final la encontró. pero ahora creo que algo de razón tenía, la buena mujer. ;)

es arriesgado hacer generalizaciones, pero leyendo quantic love me da la sensación de que los estudiantes de ciencias físicas saben pasarlo bien, sin que eso sea incompatible con su vocación científica. también hacen tonterías por amor, y en algún caso incluso las mismas tonterías que hago yo. me he sentido muy identificado...

esferas

en el sistema de coordenadas esféricas, un punto viene definido por tres parámetros:

• la distancia del origen de coordenadas a ese punto, que se representa por una línea de longitud r minúscula.
• el ángulo que forma la línea que une el origen y el punto en cuestión con el eje vertical. dicho ángulo se denota con la letra griega θ.
• el ángulo que forman la proyección de la línea que une el origen y nuestro punto sobre el plano horizontal, y un eje de dicho plano que hayamos fijado. a este ángulo lo llamamos φ.

el dibujo os ayudará a verlo más claro. dado que vamos a hablar de la superficie terrestre, la distancia desde el centro hasta cualquier punto será constante y la llamaremos R mayúscula.

el sistema de paralelos y meridianos que se utiliza para localizar cualquier punto de la tierra, en realidad es una aplicación de las coordenadas esféricas, aunque con ciertos ajustes.

la latitud, marcada por cada paralelo terrestre, viene dada por el ángulo θ. sólo que, a diferencia del sistema de coordenadas esféricas modelado por los matemáticos, este ángulo se empezará a medir desde el ecuador.

según avanzamos hacia el norte, el ángulo de latitud irá aumentando desde 0º en el ecuador hasta 90º en el polo norte. de manera análoga, al desplazarnos desde el ecuador en sentido contrario, el ángulo “disminuirá” desde 0º hasta –90º en el polo sur. en términos matemáticos, así es como funciona. sin embargo, para indicar las coordenadas de un punto no emplearemos signos algebraicos, sino que especificaremos si se trata de ‘latitud norte’ o ‘latitud sur’.

los paralelos son circunferencias cuyo radio va disminuyendo desde el ecuador -que es el paralelo de mayor radio- hasta los polos -donde se reducen a un punto-. es como si fuéramos cortando la tierra por planos horizontales paralelos entre sí.

pasamos a hablar de los meridianos, que marcan la longitud este/oeste. el ángulo φ nos dice cuál es esa longitud. tampoco este ángulo funciona exactamente como en el modelo didáctico que se estudia en matemáticas.

el ángulo que mide la longitud se empieza a medir desde el meridiano de greenwich. si nos desplazamos hacia el este, variará desde 0º en greenwich hasta 180º en la línea de cambio de fecha, trazada sobre el océano pacífico. y si el recorrido lo hacemos hacia el oeste, el ángulo variará desde 0º hasta –180º en la misma línea de cambio de fecha. pero en el lenguaje corriente no se habla de signos +/– sino de ‘longitud este’ o ‘longitud oeste’.

a diferencia de los paralelos, los meridianos siempre tienen el mismo radio, que no es otro que el radio terrestre. están contenidos en planos que pasan por el eje vertical de la tierra. es como si hubiera un plano que pudiera girar sobre dicho eje vertical, y al girarlo fuéramos dividiendo la tierra en gajos.

la distancia más corta entre dos puntos de la superficie de la tierra viene dada por la circunferencia máxima: aquélla cuyo centro coincide con el centro de la esfera terrestre y que pasa por los dos puntos dados.

los aviones suelen realizar sus vuelos a través del trayecto definido por la circunferencia máxima. a veces el camino más corto no es el que parece a primera vista. por ejemplo, algunos vuelos de parís a tokio pasan por el polo norte: se tarda menos que sobrevolando toda asia.

otro ejemplo curioso: madrid y nueva york se encuentran en la misma latitud, y podría parecer que el camino más corto entre ambas ciudades coincide con su paralelo común, verdad? pues no, se tarda menos a través del tramo de la circunferencia máxima que pasa por madrid y nueva york, y que no coincide con el citado paralelo.

las antípodas de un punto determinado se obtienen sumando 180º al ángulo θ que define su latitud, y sumando 180º al ángulo φ que indica su longitud. es decir, si las coordenadas de un punto de una superficie esférica vienen dadas por {θ, φ}, las coordenadas del punto diametralmente opuesto serán {θ+180º, φ+180º}.

así lo expresaríamos en lenguaje matemático. pero, en nuestro sistema de meridianos y paralelos, lo diremos de otra manera.

si un punto tiene un ángulo α de latitud norte/sur, el punto diametralmente opuesto tendrá el mismo ángulo α pero en sentido contrario al primero: sur/norte. los paralelos donde se encuentran dos puntos diametralmente opuestos son imágenes especulares respecto al ecuador.

y si un punto tiene un ángulo β de latitud este/oeste, el punto diametralmente opuesto tendrá un ángulo de valor 180º– β en sentido contrario: oeste/este. podemos imaginarnos una puerta giratoria para visualizarlo: si la giramos un cierto ángulo, el extremo de la hoja opuesta se desplazará ese mismo ángulo, y visto desde el plano central será el suplementario del primero.

resumiendo: dado un punto de la superficie terrestre definido por las coordenadas {α norte/sur, β este/oeste}, sus antípodas tendrán como coordenadas {α sur/norte, 180º– β oeste/este}.

la circunferencia máxima que nos da la trayectoria más corta entre dos puntos es única, salvo en el caso de dos puntos diametralmente opuestos. en este caso particular el primer punto, el centro de la tierra y el segundo punto están alineados, por lo que existen infinitos planos que pasan por esa recta. y por tanto, existirán infinitas circunferencias máximas.

por ejemplo, un vuelo desde madrid hasta auckland (nueva zelanda) sería igual de largo independientemente de su recorrido, siempre que éste estuviera definido por una circunferencia máxima. nos daría igual atravesar el océano índico, o atravesar el atlántico, américa y el pacífico, o pasar por uno de los polos...

acabo ya, que esta entrada me ha salido más larga de lo que creía. os dejo con tintín y el capitán haddock, observando la tierra desde otra perspectiva...