cintas

una cinta de moebius se forma tomando una tira larga y estrecha de papel y uniendo sus dos extremos, pero haciendo antes una torsión en uno de ellos.

en esta cinta que he hecho yo mismo, he marcado líneas de varios colores para diferenciar las dos caras de la tira original, y también para marcar la dirección de los cortes que haré en ella.

la paradoja de la cinta de moebius es que se trata de una superficie de una sola cara, y no de dos como el sentido común parece indicar. si se recorre desde un punto cualquiera, marcando una línea si se quiere, se volverá al punto de partida sin haber levantado el bolígrafo de la tira de papel.

esto demuestra que el concepto de ‘cara de una superficie’ no es tan sencillo como parece. o tal vez el concepto que tenemos necesita una revisión...

veamos qué ocurre si recortamos la cinta por su línea central. si se tratara de una cinta normal, obtendríamos dos cintas de la mitad de grosor que la original.

pero no va a ser así. obtendremos una única cinta, esta vez con dos torsiones. de nuevo estamos ante una superficie de una sola cara. si marcamos una línea desde un punto cualquiera, volveremos al mismo punto sin levantar el boli del papel.

y si rizamos el rizo y volvemos a recortar esta nueva cinta por su línea central?

esta vez el resultado será aún más sorprendente. obtendremos dos cintas en forma de 8 entrelazadas entre sí. se puede comprobar que ambas son, una vez más, superficies de una sola cara.

p-d: estas fotos son una pesadilla para quien sea un poco maniático. nunca quedan como yo quiero, ya sea por la luz, por el enfoque, por el recortado irregular, por los dobleces en el papel... así que he decidido hacer una cosa: sólo construiré una nueva cinta de moebius y haré las fotos otra vez si alguien que lea esta entrada me lo pide. ;)

ruedas

en un movimiento de rotación de un cuerpo, lo que se denomina centro instantáneo de rotación es un concepto fácil de entender intuitivamente. viene a ser el punto que se mantiene inmóvil, y alrededor del cual giran los demás puntos del cuerpo que estamos analizando.

imaginemos el caso de una rueda que gira sobre sí misma sin trasladarse. algo así como cuando las ruedas de un coche se deslizan sobre la nieve. es fácil intuir que el cir se halla en el centro de la rueda. pero no siempre será tan fácil. este caso es sencillo porque se trata de un movimiento de rotación pura.

en el caso de una rueda de un coche en movimiento, si nos preguntan dónde está el cir, podemos caer en la trampa de decir que también está en el centro de la rueda. pero no es así. en este caso, para empezar, el cir es diferente en cada instante del movimiento. y se halla en el punto de contacto de la rueda con el suelo.

este movimiento se denomina rodadura sin deslizamiento. es la combinación de dos movimientos: uno de rotación pura y otro de traslación. vamos a explicarlo con más detalle...

en un movimiento de rotación pura de un cuerpo circular, el valor de la velocidad de cada punto será ω·r, siendo ω la velocidad angular y r minúscula la distancia del punto al centro. esta velocidad será máxima en el contorno exterior, y su valor será ω·R, siendo R mayúscula el radio de la rueda. así pues, la velocidad irá aumentando linealmente desde 0 en el centro hasta ω·R en la circunferencia exterior.

la dirección de la velocidad será perpendicular al radio donde está situado cada punto. suponemos que la rueda gira en sentido antihorario, y nos fijamos en el diámetro vertical de la rueda: en ese preciso instante, los puntos que están por encima del centro se desplazarán horizontalmente a la izquierda, y los puntos por debajo del centro lo harán horizontalmente hacia la derecha.

así pues, las velocidades instantáneas de los puntos del diámetro que se encuentra en posición vertical, se pueden representar gráficamente de esta manera:

ahora imaginemos un movimiento de traslación pura de la misma rueda. se desplazará hacia la izquierda a una cierta velocidad lineal. para el caso que nos ocupa, nos interesa que el valor de dicha velocidad sea ω·R, que es justamente la velocidad de los puntos del contorno exterior en el movimiento de rotación anterior.

qué ocurrirá si combinamos los dos movimientos? en el punto de contacto de la rueda con el suelo, tendremos dos vectores de velocidad de magnitud ω·R, uno hacia la derecha -el del movimiento de rotación- y otro hacia la izquierda -el del movimiento de traslación-. ambos se anulan entre sí, y el resultado es que el punto en que la rueda toca con el suelo está inmóvil en ese instante. y el punto inmóvil es el centro instantáneo de rotación que estábamos buscando.

seguimos fijándonos en el diámetro vertical. a las velocidades que tenían sus puntos en el movimiento de rotación pura, habrá que sumarles las velocidades -o mejor la velocidad en singular porque es siempre la misma- del movimiento de traslación pura.

el resultado será que la velocidad de cada punto del diámetro vertical irá variando linealmente desde 0 en el punto de contacto con el suelo, pasando por ω·R en el centro de la rueda, hasta 2·ω·R en el punto más alto de la rueda.

va contra la intuición que la rueda gire sobre el punto de contacto con el suelo, y no sobre su centro. la rodadura sin deslizamiento se puede ver en cierto modo como un movimiento en palanca en el cual la rueda se impulsa sobre el suelo, lo que hace que gire y se traslade. en consecuencia, el punto de apoyo pasa inmediatamente a ser el siguiente punto de la circunferencia exterior. es una sucesión de movimientos instantáneos en palanca que dan como resultado un movimiento continuo.

todo esto es un poco lioso. para que lo entendáis mejor, imaginaos el movimiento de las ruedas del coche de esther y su familia...

verano lector

este verano he elegido para leer varias obras clásicas escritas por mujeres, y que contienen abundantes reflexiones sobre la naturaleza humana.

empecé por una colección de relatos policiacos de emilia pardo bazán. de los catorce relatos seleccionados, la gota de sangre ocupa aproximadamente un tercio del volumen. demasiado corto para ser una novela, demasiado largo para ser un cuento.

en realidad, yo los veo más como relatos costumbristas con un toque de intriga. es verdad que en todos ellos hay algún crimen que se debe resolver, pero están narrados en la mayoría de los casos por un personaje que hace sus deducciones sin ser un detective profesional.

continué con frankenstein, de la escritora inglesa mary shelley. también de la colección de clásicos de anaya, pero esta vez en el formato moderno de tapa blanda.

el doctor victor frankenstein da vida a una criatura, por afán de experimentación científica. la marginación a la que se ve sometido por su desagradable y deforme aspecto le lleva a odiar a su creador y al mundo entero, y a cometer terribles crímenes en venganza.

uno se queda con la duda de si la criatura tenía buenos sentimientos pero el rechazo que recibía le hizo volverse malvado, o si era malvado por naturaleza.

después vino cumbres borrascosas de emily brontë, de obligada lectura. desgraciadamente fue la única novela que le dio tiempo a escribir en su breve vida. emily era hermana de charlotte y anne brontë, también escritoras.

esta novela tiene muchas posibles lecturas. se puede ver como una historia de amor imposible entre los dos protagonistas. heathcliff sin duda es el malo, pero un ‘malo’ inteligente y con carisma. y por otro lado debía de tener un buen fondo, por el amor mutuo que se profesaban él y catherine desde pequeños.

catherine prefería a heathcliff, con todos sus defectos, antes que al ‘don perfecto’ señor linton con el que se había casado. eso demuestra que el amor no entiende de clases sociales.

y por último he leído nada de carmen laforet. se escribió en la posguerra española, por lo que es algo más moderno que los anteriores.

una chica introvertida de nombre andrea se traslada a barcelona para cursar estudios universitarios. vive en un piso con varios familiares suyos que tienen permanentes conflictos entre ellos. por otro lado, en la universidad tiene una amiga más abierta y decidida que ella -al menos aparentemente-.

es una de las novelas que más me han gustado en mucho tiempo. la protagonista narra en primera persona los acontecimientos que suceden a su alrededor y cómo la hacen sentir, con un lenguaje conciso pero muy claro.

en definitiva, este verano he pasado muy buenos ratos con la lectura...

centro de gravedad

el otro día me quedé mirando distraídamente un cuadro que había en la pared. empecé a pensar en una línea imaginaria que se deslizara con sus extremos fijados a dos de los lados perpendiculares del rectángulo del cuadro.

una aplicación real de este movimiento es una escalera con sus extremos apoyados en la pared y en el suelo. este tipo de escaleras salían mucho en las historietas de pepe gotera y otilio, y armaban auténticos estropicios con ellas.

si estudiamos el problema como se hace en física, podemos llamar l a la longitud de la varilla -o escalera, o lo que sea-, y x a la distancia horizontal que se separa de la pared. se forma un triángulo rectángulo en el cual el otro cateto -la proyección de la varilla sobre la pared-, tendrá como longitud √(l²–x²), aplicando el teorema de pitágoras.

vamos a fijarnos en el centro de gravedad de la varilla, situado en el punto medio de la misma. sus coordenadas horizontal y vertical serán justamente la mitad de los catetos horizontal y vertical del triángulo: x/2 y √(l²–x²)/2.

nos damos cuenta de que la trayectoria que sigue el centro corresponde a la ecuación de una circunferencia de radio l/2 con centro en el origen de coordenadas.

si dibujamos el movimiento completo de una varilla que pase de estar apoyada sobre la pared en toda su longitud a estar totalmente caída sobre el suelo, podemos comprobar que su centro de gravedad describe un cuarto de circunferencia.

sin embargo, cuando pepe gotera y otilio utilizan la escalera, seguro que no describe unos movimientos tan exactos y predecibles.