norias

no recuerdo haberme montado nunca en una noria. si alguna vez lo he hecho, fue cuando era pequeño.

ahora sería incapaz, porque tengo vértigo y porque marea mucho. he estado haciendo un análisis de los movimientos de la noria y he llegado a la conclusión de que efectivamente es muy mareante, no es un mito.

llamaremos φ al ángulo girado por una determinada barquilla, medido desde el punto más bajo de la noria, a ras de suelo. R es el radio de la noria. y ω es la velocidad angular a la que gira.

el valor de la velocidad lineal a la que se mueve cada barquilla es constante, igual al producto de la velocidad angular de la noria por su radio. v= ω·R. pero cuidado, no es constante en cambio la dirección en que la velocidad está proyectada. dicha dirección variará a cada instante y dependerá de la posición de la barquilla.

la aceleración representa la variación de la velocidad respecto al tiempo. esta variación no siempre significa ir más despacio o más deprisa, sino que incluye también los cambios en la dirección de la velocidad. en un movimiento circular uniforme, como es el caso, la aceleración es perpendicular en cada instante a la velocidad, y dirigida hacia el centro del círculo. el valor de la aceleración será igual al producto del cuadrado de la velocidad angular por el radio. a= ω²·R.

la aceleración la vamos a descomponer, como veremos, en sus proyecciones horizontal y vertical -que llamaremos a_x y a_y-, para poder analizar los efectos físicos que produce en quien está montado en la noria. estas proyecciones o componentes varían senoidalmente con el ángulo recorrido.

cuando vamos en un coche, al acelerar nos notamos aplastados contra el respaldo. por el contrario, al frenar sentimos que nos vamos hacia delante, motivo por el que es necesario el uso del cinturón.

por otro lado, cuando entramos en un cambio de rasante, en la cuesta arriba la sensación de aplastamiento es en vertical, contra el asiento. y en la cuesta abajo, sentimos que el coche se hunde bajo nosotros.

vamos a analizar los efectos de las aceleraciones para el caso de la noria. supondremos que gira en sentido antihorario, partiendo del punto más bajo, y que quien va montado en la barquilla está mirando hacia el interior de la noria en el inicio del movimiento (la parte izquierda del dibujo).

en el punto más bajo, la velocidad de la barquilla será horizontal hacia la derecha, y la aceleración será por tanto vertical, siempre dirigida hacia el centro de la noria. por el principio de acción y reacción, esta aceleración vertical hacia arriba producirá en quien está montado un efecto de aplastamiento hacia abajo, que llamaremos compresión vertical.

cuando el ángulo girado se encuentra entre 0º y 90º, las componentes horizontal y vertical de la aceleración están dirigidas hacia la izquierda y hacia arriba. como el pasajero está sentado mirando hacia la izquierda, sentirá que el asiento de la barquilla le empuja. a este efecto lo llamaremos compresión horizontal. y al seguir existiendo una componente vertical ascendente de la aceleración, se seguirá produciendo compresión vertical.

cuando la barquilla se encuentra a 90º respecto al punto de partida, la velocidad es vertical hacia arriba. la aceleración será, por tanto, horizontal hacia el centro de la noria, hacia la izquierda. el efecto producido será de comprensión horizontal pura.

en la zona en que el ángulo girado varía entre 90º y 180º, la componente horizontal de la aceleración se sigue dirigiendo hacia la izquierda, por lo que se producirá compresión horizontal. la componente vertical, sin embargo, cambia de sentido y se dirige hacia abajo. el pasajero notará que la barquilla se hunde bajo sus pies. llamaremos a este efecto descompresión vertical.

al llegar al ángulo de 180º, es decir, el punto más alto de la noria, la velocidad será horizontal hacia la izquierda, y la aceleración será por tanto vertical hacia abajo. se producirá descompresión vertical pura. en este punto la sensación de caída es máxima, como resulta fácil de intuir.

cuando el ángulo varía entre 180º y 270º, la aceleración tiene por vez primera una componente horizontal hacia la derecha, lo que hará sentir a quien va montado en la barquilla que sale despedido hacia delante. llamaremos a este efecto descompresión horizontal. por otro lado, la componente vertical de la aceleración sigue siendo descendente, por lo que se producirá descompresión vertical.

llegando a 270º, la velocidad es vertical hacia abajo, y la aceleración es horizontal hacia la derecha. se produce descompresión horizontal pura. la sensación de salirse del asiento es mayor que en ningún otro punto del recorrido.

y en el último tramo antes de volver al comienzo del ciclo, en el cual el ángulo varía entre 270º y 360º, la componente vertical de la aceleración pasa a ser ascendente. volveremos a la sensación de compresión vertical. la componente horizontal sigue estando dirigida a la derecha, por lo que seguirá dándose descompresión horizontal.

para terminar, representaremos gráficamente las componentes de la aceleración que experimenta la barquilla en función del ángulo recorrido.

como vemos, resulta comprensible que esther sienta vértigo, mareos y de todo al subir a la noria... ;)

flores

la colina por donde se desciende de la avenida de reina victoria de santander al camino que lleva a la playa de los peligros, y que se prolonga por el lado interior de la propia playa, está poblada de unas bellas flores de color morado. no sé a qué especie pertenecen, pero no recuerdo haber visto otras iguales en ningún otro lugar.

supongo que las cultivaron en un momento determinado y cada cierto tiempo siembran nuevas semillas. de lo contrario, resultaría difícil que se reprodujeran de manera espontánea tantas flores iguales en un área tan extensa.

estas flores se caracterizan, además de por su vivo color, por su forma pentagonal. aunque no son ni mucho menos las únicas flores pentagonales que existen. por el contrario, se trata de una forma que abunda en la naturaleza.

el cociente entre la diagonal del pentágono y el lado del mismo da como resultado la proporción áurea. el número áureo está presente en muchos fenómenos naturales, entre ellos el crecimiento de flores y plantas.

como digo, existen muchas otras especies de flores pentagonales. aquí tengo otra que fotografié en el jardín botánico de madrid. es blanca, más pequeña que la otra, y sus pétalos están separados. no es necesario deshojarla, pues al ser 5 un número impar, siempre dará como resultado ‘me quiere’. ;)

y como veis, también sigue un claro patrón pentagonal/áureo.

otra de ropa

he renovado mi vestuario de otoño-invierno, que ya hacía falta. la principal novedad es que he decidido suprimir las camisas, que me empezaban a parecer excesivamente formales. ahora llevo debajo del jersey sólo una camiseta, de manga larga o de manga corta dependiendo de que haga más o menos frío.

para los jerseys, me he decantado por colores un poco más atrevidos de lo que acostumbraba. me he comprado dos parejas de jerseys...

uno verde mar y otro rosado, más gruesos.

uno violeta y otro beige, más finos.

otra novedad es que me he animado a llevar foulards...

aunque para cuando haga más frío habrá que ponerse la bufanda y el gorro.

la bufanda beige y el pañuelo verde en realidad no son nuevos, pero encajan a la perfección con mi nueva ropa. me los regalaron en el amigo invisible del foro de esther prisstwo y mooniik, respectivamente. y con gran acierto. :)

por último, y aunque no sea una prenda -si acaso un complemento-, ahora también tengo un paraguas nuevo. es de colores alternados, lo que yo llamaba cuando era pequeño un ‘paraguas de pelota’ porque se parecen a las pelotas con gajos de colorines que había antes.

jardín

esta foto con mi abuelo paterno es de cuando tenía unos cuatro años. está tomada en jumilla, concretamente en unos jardines que hay enfrente de nuestra casa. en un viaje que hice el año pasado tomé tres o cuatro fotos, que están en esta entrada. esta vez lo he fotografiado con más detalle. comprobaréis que este jardín ha cambiado muy poco en tres décadas.

hay detalles que denotan que las fotos son actuales, como el parque infantil de diseño moderno, o el cartel que informa de que estos jardines disponen de wifi. pero en cambio, por ejemplo, los bancos no los han cambiado. si os fijáis, veréis varios como el que sale en la foto con mi abuelo.

los pinos de gran altura constituyen otra nota característica. a veces he visto ardillas subiendo por ellos. por cierto, los gatos abundan en este parque, pero como sabéis son muy huidizos y no siempre es fácil fotografiarles.

matrices

el otro día soñé que le explicaba a alguien la relación que hay entre los tipos de sistemas de ecuaciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y las matrices formadas por los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes. eso lo dábamos en matemáticas de cou.

empezaremos con un ejemplo sencillo de sistema -dos ecuaciones con dos incógnitas- y en el caso más normal -compatible determinado-. lo resolvemos combinando las ecuaciones de tal manera que eliminamos una incógnita y despejamos la que queda. una vez determinada una incógnita, despejamos de cualquiera de las ecuaciones iniciales el valor de la otra.

la matriz de coeficientes de las incógnitas será de 2 filas y 2 columnas, y si le añadimos los términos independientes pasará a tener 3 columnas.

en un sistema compatible determinado, la matriz de coeficientes tendrá rango 2. eso quiere decir que las dos filas son independientes. no se puede obtener una de ellas multiplicando la otra por una constante. si la matriz de coeficientes es de rango 2, ya no tendremos que preocuparnos del rango que tenga la matriz ampliada que incluye los términos independientes: su rango será 2 seguro.

veamos ahora otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, pero en este caso será compatible indeterminado. lo resolvemos de la misma manera que el anterior, y comprobamos que no podemos despejar las incógnitas. se anulan entre sí todos los términos y obtenemos la igualdad 0 = 0, una obviedad que no nos aporta nada. mi profesor de matemáticas de 8º de egb, que era muy guasón, decía “muy listo el sistema!”.

lo que ocurre en este caso es que una de las ecuaciones es la otra multiplicada por una cantidad. es decir, que en el fondo tenemos una misma ecuación duplicada y dos incógnitas. por tanto, el sistema queda indeterminado porque hay más incógnitas que ecuaciones. tendrá infinitas soluciones.

en nuestro ejemplo, la primera ecuación nos dice que ‘algo’ es igual a 2. y la segunda nos dice que el doble de ese ‘algo’ es igual a 4. eso es obvio y no nos aporta nada nuevo.

la matriz de coeficientes es de rango 1, ya que sólo hay una fila independiente: la otra fila no es otra cosa que la primera multiplicada por cierta cantidad. la matriz ampliada también será de rango 1. como hemos dicho, una de las ecuaciones es la otra multiplicada por una constante, afectando a ambos miembros de la ecuación -las incógnitas y los términos independientes-.

ahora vamos a analizar el caso de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas incompatible. al resolverlo, llegaremos a una contradicción, un absurdo: 0 = algo distinto de 0.

en un sistema de este tipo lo que ha ocurrido es que los coeficientes de las incógnitas de una ecuación son los de la otra multiplicados por una cantidad. sin embargo, el término independiente de la segunda no es el de la primera multiplicado por esa misma cantidad. no hemos sido coherentes.

en el ejemplo, he mantenido los coeficientes de las variables respecto al anterior, y sólo he cambiado uno de los términos independientes para que se aprecie mejor la diferencia. la primera ecuación nos dice que ‘algo’ es igual a 2. y la segunda nos dice que el doble de ese ‘algo’ es 3. no debería ser 4? es una contradicción. se trata de un sistema mal planteado, sin soluciones.

la matriz de coeficientes tiene rango 1, porque la segunda fila es la primera multiplicada por una cantidad. pero la matriz ampliada tendrá rango 2, porque los términos independientes no siguen esa proporción. ya no se cumple que la segunda fila de la matriz ampliada sea la primera multiplicada por una constante.

ahora pasamos a los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, un poco más complicados. y dentro de éstos, empezaremos por el caso más corriente, el de un sistema compatible determinado. para resolverlo, primero eliminaremos una incógnita combinando las ecuaciones dos a dos de la manera que más fácil nos resulte. de esa manera obtendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que lo resolveremos igual que lo hemos venido haciendo: eliminamos una incógnita, despejamos la otra y volvemos para despejar la que habíamos eliminado. y ya conociendo el valor de dos de las incógnitas, despejamos el valor de la restante.

la matriz de coeficientes tendrá rango 3 por tratarse de un sistema compatible determinado. las ecuaciones son independientes entre sí, no se puede obtener una de ellas por combinación de las otras. la matriz ampliada siempre es de rango mayor o igual que la que tiene sólo los coeficientes, y por tanto será de rango 3.

pasamos al caso de sistema compatible indeterminado. al resolverlo, todos los términos se anularán y llegaremos a la igualdad 0 = 0.

en un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas esto ocurre cuando una ecuación se puede obtener por combinación de las otras dos. es decir, que la tercera ecuación -el orden en que las pongamos es arbitrario- es igual a la primera multiplicada por una constante más la segunda multiplicada por otra constante, pudiendo tomar dichas constantes cualquier valor real (positivo o negativo).

en nuestro ejemplo, la tercera ecuación es la suma de la primera y la segunda. si la primera ecuación nos dice que ‘una cosa’ es igual a 1, y la segunda ecuación nos dice que ‘otra cosa’ es igual a 2, es obvio que la suma de esas dos ‘cosas’ es igual a 3. la tercera ecuación, pues, no nos aporta nada.

la matriz de coeficientes será de rango 2, y también lo será la ampliada. las filas de la matriz representan los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes. y como sólo hay dos ecuaciones independientes, siendo la tercera una combinación de las otras dos, quiere decir que sólo hay dos filas independientes de la matriz, y por tanto el rango será 2.

veamos, por último, el caso de sistema incompatible. al resolverlo llegaremos a una contradicción del tipo 0 = algo distinto de 0.

lo que ha ocurrido en un sistema de este tipo es que los coeficientes de la tercera ecuación se obtienen por combinación de los coeficientes de las otras dos, pero no sucede lo mismo con el término independiente. éste “va por otro lado”, no se ha obtenido mediante la misma suma o resta de las dos primeras ecuaciones.

nuevamente sólo hemos cambiado el término independiente de la tercera ecuación, para que se vea con más claridad la diferencia respecto al sistema compatible indeterminado. la primera ecuación nos dice que ‘una cosa’ es igual a 1. la segunda nos dice que ‘otra cosa’ es igual a 2. la suma de las dos ‘cosas’ debería dar 3, y sin embargo da 4. es una incoherencia, una contradicción. el sistema no tendrá soluciones.

el rango de la matriz de coeficientes será 2, ya que una de las filas es una combinación de las otras dos, y por tanto sólo hay dos filas independientes. sin embargo, el rango de la matriz ampliada será 3. ya no podemos decir que una fila sea combinación de las otras dos, por “culpa” de los términos independientes, que no siguen la misma pauta que los coeficientes de las incógnitas.

como vemos, un sistema de ecuaciones pueden tener una sola solución -compatible determinado-, infinitas soluciones -compatible indeterminado-, o ninguna solución -incompatible-.

el caso de que el sistema sea compatible determinado, y por tanto la matriz de los coeficientes de las ecuaciones tenga como rango el número de ecuaciones e incógnitas, es el más normal. y es que, si nos damos cuenta, para que el rango sea menor hay que “hacerlo aposta”, como decía otro profesor mío de matemáticas, el de cou. tiene que ocurrir que una de las filas se pueda obtener como combinación de las otras.

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voy a aprovechar esta entrada para otro asunto que nada tiene que ver con ecuaciones. quienes hayáis tenido la paciencia de leer hasta aquí os encontraréis con una sorpresa.

he robado otra nancy del cuarto trastero de la casa de mi abuela. soy reincidente. ya lo hice una vez, pero fue para bien porque la nancy que me llevé en aquella ocasión pasó a las cuidadosas manos de rosana y ahora parece otra. :)

aquí tenéis a la que he robado esta vez. tenía el pelo lleno de cal, pero se la he quitado con sólo sacudírselo un poco con la mano. eso no quiere decir que no necesite un buen lavado. y vestirla mejor... o, simplemente, vestirla.