más círculos

una vez se me ocurrió preguntarme qué anchura debería tener una corona circular para que el área de ésta sea igual a la del círculo al cual rodea.

consideramos dos círculos concéntricos, de radios R₁ y R₂. obligamos a que el área de la corona comprendida entre ambos radios sea igual al área del círculo interior de radio R₁. y obtenemos que el radio mayor R₂ debe ser igual a R₁ multiplicado por la raíz cuadrada de 2.

añadimos otro círculo concéntrico mayor que los anteriores, de radio R₃. queremos que la corona comprendida entre R₂ y R₃ siga teniendo un área igual a la de la corona entre R₁ y R₂, y por tanto igual a la del círculo de radio R₁. hacemos unos cálculos análogos a los del caso anterior, y llegamos a que R₃ debe ser igual a R₁ por la raíz cuadrada de 3.

podemos continuar con el mismo procedimiento, y llegaremos a la conclusión de que si vamos añadiendo coronas circulares que conserven la misma área, sus radios exteriores seguirán la siguiente pauta:

R₂ = √2·R₁

R₃ = √3·R₁

R₄ = √4·R₁ = 2·R₁

R₅ = √5·R₁

...

R_n = √n·R₁

ayer, leyendo cierto libro, me enteré de que existe un modelo visual sobre la comunicación, ideado por el psicólogo arnold lazarus. consiste en varios círculos concéntricos que representan los niveles de intimidad que puede alcanzar la comunicación establecida entre dos personas.

el nivel E es el más superficial, y está representado por la corona circular más exterior. estaría asociado a comentarios que se hacen en un primer encuentro, para romper el hielo, del tipo “cómo te llamas?”, o “hay mucha gente aquí hoy!”. el nivel más íntimo es el A, y se encuentra en el círculo más interior. hay personas muy celosas de su intimidad, y por ello pueden ser muy selectivas con aquellos a quienes permiten acceder a esa zona ‘privada’.

los niveles B, C y D son intermedios, y ubicar un determinado tipo de comunicación en alguno de ellos es subjetivo. es como cuando a mí alguna vez me han dicho “...porque tú en tu blog publicas cosas de matemáticas, cosas personales...”. pues hombre, depende de lo que entiendas tú por personal.

a algunas personas -incluido yo cuando era más joven- les cuesta entablar una conversación superficial con alguien a quien conocen poco. eso ocurre porque falta entrenamiento en hablar sobre cualquier tema trivial, y tampoco vas a hablar de cosas íntimas, por decirlo así. eso puede llevarte a un bloqueo que te dificulte socializar. afortunadamente, con el tiempo y la experiencia vas adquiriendo ‘tablas’, y aprendes a comunicarte con más fluidez.

de noche

hace poco se me ocurrió que podría hacer un recorrido fotográfico por la noche, ya que siempre los hago por el día. lo ideal era elegir una calle que ya os hubiera mostrado a la luz del día, y de ese modo poder comparar entre el día y la noche.

el año pasado por estas fechas recorrí la gran vía, que no es una calle excesivamente larga, me salieron sólo once fotos. me pareció una buena elección para mostrar el ambiente nocturno, sobre todo en estos días de fiestas. decidí hacer fotos en los mismos lugares donde las hice la otra vez, y con el mismo enfoque. obviamente no iba a conseguir que me quedaran iguales, pero trataría de aproximarme lo más posible.

algunas fotos las hice en puntos de referencia fáciles de identificar: una salida de metro, un local reconocible como por ejemplo la casa del libro... pero con otras, me costó más localizar el punto exacto donde las saqué.

empezamos en la esquina de alcalá con gran vía. como veis, estaba hasta arriba de gente.

plaza de callao. en este punto, la gran vía forma un pronunciado ángulo.

plaza de españa. aquí acaba el distrito centro y empieza el distrito moncloa.

espero que os haya gustado el paseo nocturno. os deseo muy felices fiestas! :*

blade runner

tenía ganas de ver blade runner, una célebre película de ciencia ficción del año 1982, dirigida por ridley scott y protagonizada por harrison ford. el vídeo musical de la canción tonight, tonight, tonight de genesis estaba inspirado en blade runner. me gustaba su ambientación inquietante y nocturna, así que pensé: tengo que ver esa película.

se trata de un filme futurista: la historia se desarrolla en la ciudad de los ángeles en el año 2019, treinta y siete años por delante en el tiempo respecto al momento en que se rodó. ahora estamos a punto de finalizar 2019, y evidentemente no existen todavía coches voladores ni muchas cosas que se ven en la película. pero no deja de resultar interesante la proyección que se hacía de la época actual casi cuatro décadas atrás.

en blade runner hay detalles que resultan antiguos vistos ahora, como por ejemplo que la gente fumara en lugares cerrados. en cambio, en otras cosas quizá se adelantaron a su tiempo. en esa ciudad futurista donde se desarrolla la acción, se observa una mezcla de etnias, lenguas y culturas que tal vez se haga realidad dentro de unos años.

el protagonista es el policía rick deckard, interpretado por el actor harrison ford. su misión será eliminar a los ‘replicantes’, unos seres con apariencia externa de humanos, que han sido creados artificialmente con oscuras intenciones. se diferencian de los humanos en que carecen de emociones y empatía. sólo tras un exhaustivo test será posible determinar si son verdaderos humanos, o si son replicantes.

quizá estos seres constituían un paso más respecto a los autómatas. recuerdo vagamente haber visto de pequeño, en algún documental de la tele, a robots con apariencia humana pero sin expresividad y con movimientos rígidos. eran como maniquíes que hubieran cobrado vida. y me daban muy mal rollo, por cierto.

no hace mucho leí una biografía del científico inglés alan turing (1912-1954), quien ideó el concepto de inteligencia artificial, en el cual se basa toda la informática. para comprobar que las ‘máquinas pensantes’ estuvieran perfectamente diseñadas, propuso el ‘test de turing’. si el usuario se veía incapaz de distinguir si las respuestas eran elaboradas por un algoritmo o por un ser humano, la máquina superaría la prueba.

el test al que eran sometidos los individuos sospechosos de ser replicantes en la película blade runner, nos recuerda al test de turing. el pensamiento humano, por ahora no hay máquina que pueda emularlo. y menos aún las emociones... hablando de lo cual, entre el policía rick deckard y una mujer replicante de nombre rachel, surge el amor. aunque en realidad ella estaba a medio camino entre replicante y humana, al menos yo lo veo así. ^_^

tiempo de vuelo?

en física de 3º de bup, un día el profesor puso un examen que sorprendió a todo el mundo. consistía en un solo ejercicio, de tiro parabólico, en el que se pedían algunas cosas típicas (altura máxima alcanzada, distancia horizontal máxima recorrida...) y otras cosas más raras que enseguida comentaré.

pero lo más peculiar era que no daba ningún dato numérico, sino que teníamos que expresar los resultados como expresiones algebraicas, en función de las variables: coordenadas x,y, velocidad v, tiempo t, ángulo α... lo cual es algo muy habitual en asignaturas de ingeniería, pero no en un curso del nivel de 3º de bup, o 1º de bachillerato que es su equivalente actual.

vamos a analizar un problema de tiro parabólico ‘genérico’, sin asignar ninguna cifra a las variables, similar al que nos pusieron aquel día. la única aceleración que interviene es la gravedad -vertical hacia abajo-, y la velocidad inicial es v formando un ángulo α con la horizontal. la altura inicial es nula, es decir, el ‘proyectil’ inicia su trayectoria a ras de suelo -lo cual no es muy realista, pero simplifica los cálculos-.

empezaremos calculando la altura máxima. ésta se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad se hace cero. no olvidemos que el tiro parabólico es una combinación de dos movimientos: en horizontal, un movimiento rectilíneo uniforme; y en vertical, un movimiento de caída libre. la velocidad vertical desciende hasta llegar al punto más alto, y a partir de ahí el cuerpo empieza a caer.

el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima viene dado por la expresión v·sen(α)/g. lo sustituimos en la ecuación de la coordenada vertical y, con lo que obtenemos que la altura máxima es v²·sen²(α)/2·g.

la parábola que describe el objeto lanzado es simétrica, ya que la altura inicial es cero y asumimos que no hay rozamiento del aire. la trayectoria se divide en dos mitades: del punto inicial a la altura máxima, y de la altura máxima al punto final. por ello, podemos deducir que el tiempo que tarda en caer al suelo será el doble del tiempo en alcanzar la altura máxima, es decir, 2·v·sen(α)/g.

dicho tiempo, que se pedía calcular en el examen, el profesor lo llamó “tiempo de vuelo”. cuando leí el enunciado me imaginaba a qué se refería, pero esa expresión no la había visto en mi vida en ese contexto, y nunca la volví a ver/oír en ninguna asignatura de la carrera. se habla del “tiempo de vuelo” para un viaje en avión, no para un pedrusco que lanzas por los aires.

en fin, volviendo a nuestro ejercicio, esa expresión del tiempo la sustituimos en la ecuación de la coordenada horizontal x, y de ahí obtenemos la distancia horizontal recorrida: v²·sen(2·α)/g.

por último, recuerdo que se pedía el ‘radio de curvatura’ de la parábola, que fue lo que más loco me dejó al leer el enunciado. supongo que sería en la altura máxima, en la cual la velocidad es perpendicular a la aceleración: la primera sólo tiene componente horizontal, y la segunda es vertical descendente. en cualquier otro punto, calcular el radio de curvatura sería un auténtico follón.

en el punto de altura máxima, la gravedad hace el papel de aceleración normal. ésta es igual al cuadrado de la velocidad en ese punto entre el radio de curvatura. de ahí despejamos el radio, igual a v²·cos²(α)/g.

en el mundo del deporte, encontramos abundantes ejemplos de este tipo de movimiento. en la viñeta que hay al principio de esta entrada, vemos a esther y a rita jugando al tenis, y se observa claramente la trayectoria que sigue la pelota. por otro lado, el lanzamiento de jabalina que se le da tan bien a este pitufo, en el fondo también es un tiro parabólico.

compañeros

cuando era más jovencillo, hubo una época en que la palabra ‘compañero’ me parecía fría y distante. me daba la sensación de que se usaba en contraposición a ‘amigo’, es decir, para remarcar que alguien era estrictamente compañero, pero no amigo.

pero en realidad, esa manera mía de pensar era una tontería. referirte a alguien como un compañero de trabajo, o un antiguo compañero del colegio, no excluye que pueda ser un amigo. simplemente en ese momento estás destacando su faceta de compañero en cierto ámbito de tu vida, ya sea tu profesión, tus estudios o cualquier otra cosa.

como decimos, hay compañeros de trabajo, compañeros de estudios, compañeros de equipo si practicas algún deporte, compañeros en un grupo musical... también hay compañeros de fatigas, o compañeros sentimentales. este último término, diría que está cayendo en desuso. hoy en día se suele hablar de ‘pareja’, sin más.

pero mi expresión favorita es, sin duda, ‘compañero de juegos’. solía usarse en novelas antiguas protagonizadas por niños, tipo mujercitas o el jardín secreto. me gusta porque junta una palabra en cierto modo formal -‘compañero’-, con otra que se refiere a algo lúdico y divertido -‘juegos’-.

en las zapaterías, cuando te pruebas un calzado sólo en un pie, a veces la dependienta te dice “quieres probarte también el compañero?”. y no le falta razón, todo zapato tiene su compañero sin el cual no puede pasar. ;)

se le había atascado el tacón en la rejilla.

en matemáticas, se me ocurre como ejemplo de “compañerismo” el de un término de una sucesión con los términos anterior y siguiente. os propongo que averigüéis cuál sería el siguiente término de cada una de estas tres sucesiones:
a)  0, 1, 4, 9, 16, 25...
b)  1, 2, 4, 8, 16, 32...
c)  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

boca a boca

en un curso de habilidades de comunicación al que asistí, que formaba parte de la beca citius, hicimos el siguiente experimento. el profesor le susurró al oído un mensaje al alumno/a que tenía más cerca, y éste tenía que decírselo a su compañero, y éste al siguiente... formando una cadena. el último de ellos escribió en un papel el mensaje final que le había llegado, y lo leyó en voz alta. el profesor lo comparó con el mensaje original, que tenía previamente escrito. y como os podéis imaginar, las dos versiones no tenían nada que ver. :D

este fenómeno lo estudió el matemático francés laplace. supongamos que una noticia se difunde boca a boca a través de varios testigos. la probabilidad de que cada uno de ellos transmita la información al siguiente de manera fiel a la verdad, se puede estimar en un 90% (muy optimista me parece, pero bueno). por tanto, la probabilidad de que la narración de un hecho llegue sin distorsión a través de una cadena de n informadores, será igual a (90/100)ⁿ, es decir 0,9ⁿ.

cuál será el valor de n para que la probabilidad de que un mensaje nos llegue intacto, esté por debajo del 50%? (en tanto por uno, 50/100 = 0,5). lo resolveremos tomando logaritmos y redondeando el resultado al número entero más próximo.

0,9ⁿ = 0,5

log(0,9ⁿ) = log(0,5)

n·log(0,9) = log(0,5)

n = log(0,5)/log(0,9) = -0,30103/-0,04576 = 6,57881 -> aprox. 7

para una cadena de 7 personas, 0,9⁷ = 0,47830. es decir, la probabilidad de que la noticia llegue al interlocutor final sin omisiones ni añadiduras será del 47,83%, menos de la mitad. ese tipo de distorsiones en la información son las que a veces causan que se generen falsos rumores.

aunque en el caso de las noticias que aparecen en los medios, es más bien una cuestión de mala fe de los periodistas. eso le ocurrió a nuestra amiga esther, en sus aventuras de adulta. ^_^ el periódico que aparece es ‘the sun’, pues no olvidemos que las historias de esther están ambientadas en inglaterra. recuerdo que a principios de los noventa hubo un periódico sensacionalista que se llamaba ‘claro’, que pretendía ser el equivalente español de ‘the sun’ y similares. pero duró muy poco...