jueves, 3 de mayo de 2018

plastilina


ayer, haciendo problemas de geometría del espacio con una estupenda alumna de 2º de bachillerato, nos preguntábamos por qué el volumen del tetraedro definido por tres vectores no coplanarios es igual a la sexta parte del paralelepípedo limitado por esos vectores y los vectores deslizantes paralelos correspondientes... en el dibujo se entenderá mejor.


vamos a tratar de comprobarlo para un caso sencillo, como es el de un cubo. si lo cortamos con un plano que pase por tres diagonales de sus caras, obtenemos una pirámide cuya base es un triángulo equilátero -de lado la diagonal de la cara del cubo- y cuyas caras laterales son triángulos rectángulos isósceles -de catetos iguales a la arista del cubo-.


el volumen de una pirámide es el producto del área de la base por la altura -perpendicular a la base desde el vértice superior de la pirámide-. empezaremos calculando el área de la base, que como hemos dicho es un triángulo equilátero. si a la arista del cubo la llamamos a, la diagonal de la cara será a·√2. por otro lado, la altura de un triángulo equilátero se puede demostrar fácilmente que es igual a su lado multiplicado por √3/2. haciendo los cálculos para nuestro caso, obtenemos que el área de la base es a2·√3/2.


hay dos distancias que vamos a necesitar para calcular la altura de la pirámide. una es la altura de la cara lateral. al tratarse de un triángulo rectángulo isósceles, se comprueba fácilmente que es igual a la mitad de la hipotenusa, y por tanto en nuestro caso igual a la mitad de la diagonal de la cara del cubo: a·√2/2.


la otra distancia que necesitamos es la apotema de la base. en el caso de un triángulo equilátero, la verdad es que no me la sabía porque no es algo que se use mucho, pero se puede deducir utilizando razones trigonométicas. para nuestro caso será a·√6/6.


ahora viene el paso más difícil. vamos a hacer una sección de la pirámide, con un plano que contenga a una de sus aristas y a la altura de una de sus caras laterales. si nos damos cuenta, hay un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la altura de la cara (a·√2/2), y cuyos catetos son la apotema de la base (a·√6/6) y la altura de la pirámide que queremos calcular. aplicamos el teorema de pitágoras y obtenemos que la altura de la pirámide es a/√3.


ya sólo nos falta sustituir los valores del área de la base y de la altura en la fórmula del volumen de la pirámide. y tal como estaba previsto, es igual a a3/6. es decir, la sexta parte del volumen del cubo.


he comprado plastilina -que no la usaba desde egb- para moldear un cubo y cortarle una porción de forma piramidal de la manera que hemos explicado, y así poder visualizar este problema en tres dimensiones. porque por muchos gráficos que hagas sobre el papel, siempre hay algo que se te escapa...


esta tableta de plastilina, en su estado original medía 13 cm de longitud, 5 cm de anchura y 2 cm de grosor. es decir, su volumen es de 130 cm3. con ella se puede formar un cubo cuya arista sería 3√130 = 5,066. aproximadamente 5 cm. el cubo me ha salido un poco amorfo, y eso que he usado un libro para alisarle las caras. pero cuando lo he seccionado, ya sí que me ha quedado un engendro. me abstengo de poner fotos del resultado...


pero bueno, me ha servido como excusa para ir a la papelería que tengo al lado de casa. una de las chicas que hay allí es amiguita mía. ^_^ alguna sugerencia de cosas que se puedan hacer con plastilina amarilla?

24 comentarios:

  1. Eres muy muy pero que muy crack! Explicárselo con plastilina para que lo entendiera es de profesor guay! Yo hubiera necesitado eso, porque me costaba y me cuesta horrores. Pero en tres dimensiones es más sencillo, trabajo de campo :-D
    La chica de la papelería te hace tilín? O más bien tolón porque creo que no es la primera vez que la nombras jejeje
    Ah y con la plastilina amarilla puedes hacer un Bob esponja
    Besos guapísimo

    ResponderEliminar
  2. Jajaja, visto así, parece una porción de queso!! Y es que siempre me traes recuerdos de mi niñez!! Con lo que disfrutaba yo con la plastilina… Hasta las figuritas del belén hacía con ella…

    Y que eres un CRACK, así en mayúsculas… Yo me pierdo un poco (me pillan muy lejos estos temas), pero hay que ver!!! 👏👏👏

    Bsoss y abrazos enormes, y muy feliz noche, mi querido Chema!! 😘

    ResponderEliminar
  3. What a great way to explain to a student how this works Chema! And indeed, an excellent reason/excuse to visit your undoubtedly lovely lady friend in the shop ;-D! I think the yellow plasticine could become a banana, a lemon or other yellow fruit! (I can't think of other yellow fruit right now :-D). Or, as Anusca suggested Sponge Bob! Hugs :-)

    ResponderEliminar
  4. Tu alumna triunfará en la vida con un profe como tu conseguirá no solo dominar la geometría tambien la creatividad y las relaciones sociales. Me voy con una sonrisa, es un placer leer tus entradas. Abrazos

    ResponderEliminar
  5. Descubrí que a los chavalines se le quedan mejor el aprendisaje de forma amena, con mis hijos, hace ¡Huyyyyyyyy! Mucho tiempo. No dudo que tu alumna destacará en la asignatura. Sonrío imaginándomelo.
    Me traes bonitos y divertidos recuerdos, gracias Chema.
    Un abrazete.

    ResponderEliminar
  6. Jo! Chema, eres increíble. Este fin de semana en casa han tenido que resolver problemas de todo tipo. Y en cuanto a la plastilina, hemos tenido que volver al ella. Mi hija, 2° ESO, tiene que hacer un pequeño teatro en francés, un diálogo en un restaurante y el menú en plastilina. Le ha quedado fenomenal.
    Besosssss

    ResponderEliminar
  7. He estado a punto de buscar el botón de traducir página porque no me he enterado de nada...jajaja. Pero eso sí, con la plastilina puedes hacer muchas cosas., Un limón, un plátano, una mazorca...jajaja besos

    ResponderEliminar
  8. anacris, puede que le lleve a la chica lo que hice con la plastilina, que aunque me haya quedado un poco feo, para ver el concepto vale, jeje. la chica de la papelería tiene su morbo, y como cada dos por tres hay que comprar cosas allí... :D tomo nota del bob esponja!

    ginebra, en otra ocasión compré papel charol, otra de esas cosas de nuestra época que siguen existiendo. a todos nos gustan las papelerías porque nos trasladan atrás en el tiempo. a mí con la plastilina me gustaba mezclar muchos colores. ^_^

    millicent, i had thought about making a cut-out cube, but that takes a long time's work, and besides it would be a hollow cube. i wanted it to be solid, so plasticine was the solution. thanks for your fruit sugestions!! ;)

    ester, desde luego para ser profesor hay que tener inteligencia emocional y habilidades sociales. al menos se intenta. ^_^ me alegra mucho que te haya gustado el post!

    besos!!

    ResponderEliminar
  9. mari carmen, así es, ayuda mucho poner ejemplos un poco divertidos, sobre todo con alumnos pequeños. la plastilina nos trae muchos recuerdos de las clases de plástica de egb. ^_^ tú sí que eres una maestra, yo aún soy amateur en esto. :)

    maite, parece que la plastilina está en nuestras vidas, jeje. qué idea tan divertida lo del diálogo escenificado! no todo han de ser clases magistrales y estudio.

    emma, es normal, son cosas de geometría avanzada, jeje. incluso a mí que me dedico a esto, me pueden pillar en un renuncio. :P me mola la idea de la mazorca! últimamente desayuno corn flakes.

    besos!!

    ResponderEliminar
  10. Qué recuerdos con la plastilina, pasaba horas haciendo personajes y animalitos, siempre he sido creativa, modelar una cuestión de manos y ir haciendo. Me gusta tu cubo, no tengo que decir que con la plastilina dejas volar tu imaginación y puedes llegar a realizar cosas verdaderamente fantásticas, por ejemplo un tractor amarillo, como la canción jajajajaja:)) Besos!!

    ResponderEliminar
  11. Vaya... Me he quedado con ganas de ver la pirámide en plastilina...

    Aquí tienes una alumna más :)

    Un montón de besos.

    ResponderEliminar
  12. Usar la plastilina siempre es divertida, sobre todo como escusa para ver a una "amiguita"...jejeje...besossss y abrazos.

    ResponderEliminar
  13. El primer párrafo me ha dejado ya boquiabierta jajaja Otros nos preguntamos qué tiempo hará mañana :-P

    ResponderEliminar
  14. (paula, gracias por tu comentario, y siento haberlo borrado accidentalmente. :( me alegra que te haya gustado el post.)

    rosana, la plastilina es un gran invento. se puede modelar sin prisas y sin limitaciones. la arcilla es más complicada porque se seca. esa canción es de cuando estaba en 8ºegb o por ahí, jeje.

    sakkarah, es que me quedó un corte muy irregular y escalonado. además, como las aristas y los vértices no eran tan picudos como debieran, pues la pirámide quedaba un poco chunga. ^_^

    elanor, en esa papelería entro mucho. cuando no son cosas para las clases (folios, rotuladores...), son para manualidades. una vez entré dos veces en un mismo día. :D

    geno, hay muchas preguntas existenciales. el tiempo que va a hacer al día siguiente también es importante, no vayas a creer. :D al final mis alumnas se van a volver tan frikis como yo.

    besos!!

    ResponderEliminar
  15. Tu alumna tiene mucha suerte de tenerte como profesor, seguro que entiende mucho mejor las cosas comprobando lo en vivo.
    Con plastilina amarilla puedes hacer a Piolín o a Picachu .
    Un saludo

    ResponderEliminar
  16. Me encanta la plastilina,su textura ,su olor cuando está nueva...al tener en el colegioa
    a niños pequeños siempre tengo plastilina en clase como premio para los que acaban pronto y les gusta mucho...les permite desarrollar la imaginación y a la vez se entretienen un rato
    Un Abrazo

    ResponderEliminar
  17. La verdad es que me has traído recuerdos de mi niñez con la plastilina, me encantaba imaginar creando objetos, me lo pasaba genial en clase o en casa, también hacía cosas para regalar con esa manualidad, así que yo te recomiendo que hagas una flor amarilla para regalar mañana a tu madre, que es el Día de la Madre, un regalo creado por ti, y sin gastarte ni un céntimo, verás qué contenta se pondrá, y seguro que nada que envidiar a las flores de verdad porque tú eres muy creativo y te saldrá genial.

    Besos.

    ResponderEliminar
  18. AHmm, sí, lo que yo decía...
    Cuando dices eso de "ahora viene el paso más difícil", no te has equivocado y lo tenías que haber puesto al principio del todo???? ja, j, ja.
    Yo haría un minion para poner en la estantería de tu clase. Y si no, haces más cubitos, porque te quedan muy chulos!
    Besos

    ResponderEliminar
  19. Chema, amigo mío... se acerca la Ebau y tu alumna la va a bordar... eres muy grande como profesor y aportando ideas.
    Con plastilina amarilla... jajajaja, lo que yo he trabajado con mis alumnos... limones, cestitos, melones, coronas, sombreros... un sol inmenso... con unos rayos súper largos... les encanta hacer churros...

    Me ha gustado mucho tu entrada.

    Mil besitos de feliz finde para ti.

    ResponderEliminar
  20. ¡¡¡¡Hola!!!!
    Pues me gustan mucho estos post, y el cubo está chulo.
    Ya que preguntas lo que puedes hacer con la plastilina amarilla se me ocurre que un corazón y se lo llevas a la chica de la papelería, seguro que le encanta.
    Besos y muy feliz domingo.

    ResponderEliminar
  21. ¡Acabaramos! Con lo de la plastilina me ha quedado tooodo mucho más claro jajaja
    Oye, que no tenéis temas más sencillos por los que reflexionar jajja
    Besos

    ResponderEliminar
  22. maribel, de aquí al final de curso voy a tener muchas clases con esa alumna, porque está preparando selectividad. siempre procuro explicar las cosas con palabras llanas, y a veces con ejemplos tontos pero que funcionan. :)

    princesa, es muy buena idea acabar la clase con una tarea más relajada y creativa. ser maestro en un curso de infantil o primaria es muy bonito, les estás viendo todo el día. supongo que se les acabará cogiendo cariño.

    maría, mañana es el cumple de mi madre, así que algo se me ocurrirá, jeje. la idea de la flor es muy bonita. precisamente a mí me gustan las flores amarillas. los girasoles inspiraron a van gogh por algo... :)

    rosana, es verdad, el primer párrafo parece un trabalenguas. :D menos mal que en geometría del espacio para selectividad sólo entran planos y rectas, porque otros años había esferas, curvas cónicas... si tengo que repasarme todo eso me muero. :P

    besos!!

    ResponderEliminar
  23. auroratris, lo del limón es bueno idea. por cierto, en la casa de mi abuela de jumilla hay una fuente con limones de cerámica tan logrados que vas a coger uno y te das cuenta de que están todos soldados entre sí. :P

    gemma, hablando de corazones, en el whatsapp los hay de varios colores. yo suelo elegir el que va mejor con la situación. el verde o el amarillo para desear salud a alguien, el azul o el morado para ensalzar algo bonito... según me dé. :D

    pirulí, estas alumnas hermanas de 1º y 2º de bachillerato me hacen pensar mucho, jeje. todos los posts que he publicado este año como que me han venido solos. el año pasado me tenía que estrujar más el cerebro: "de qué puedo hablar esta semana?".

    besos!!

    ResponderEliminar