viernes, 26 de enero de 2018

tiro parabólico


últimamente he estado haciendo problemas de tiro parabólico con una alumna muy simpática de 1º de bachillerato. en la hoja de problemas que le dieron en el colegio había uno que me llamó la atención: se trataba de calcular el ángulo con el que se debe lanzar un objeto para que la distancia horizontal máxima que recorre sea la misma que la altura máxima alcanzada. no daban ningún dato, excepto suponer que se lanza al nivel del suelo y que la única aceleración presente es la gravedad, vertical hacia abajo.


aquí vamos a resolver un problema parecido pero ligeramente distinto: queremos que la máxima distancia horizontal (x máxima) sea el doble de la altura máxima (y máxima). para empezar, plantearemos las ecuaciones de la trayectoria y de la velocidad.


el objeto alcanza y máxima cuando la componente vertical de su velocidad es cero. sabemos por experiencia que al lanzar un objeto por el aire, va perdiendo velocidad vertical hasta que se para y vuelve a caer. hallaremos el instante de tiempo en el que eso ocurre, y esa expresión del tiempo la sustituiremos en la coordenada y.


ahora vamos a calcular la x máxima. podríamos obtener el instante en que la y se hace cero -es decir, cuando el cuerpo cae al suelo-, pero es más rápido deducir que ese tiempo será el doble del que tarda en alcanzar la altura máxima, dada la simetría de la parábola. a continuación, sustituiremos ese tiempo en la coordenada x para hallar la distancia horizontal máxima.


ya sólo nos queda igualar la x máxima con el doble de la y máxima. observamos que se cancelan a ambos lados de la ecuación la velocidad inicial v0 -no la conocíamos pero no nos ha hecho falta-, y la gravedad. nos queda tan sólo una igualdad que nos dice que el seno del ángulo que buscamos es el doble de su coseno.


resolvemos esta ecuación trigonométrica elevando ambos miembros al cuadrado y aplicando la identidad sen2α+cos2α=1. y obtenemos que el ángulo buscado es 64,43º. verdad que era tentador creer que el ángulo para que x máxima fuera el doble de y máxima era 45º? pues ya vemos que no. con 45º habría quedado una parábola más achatada. se puede comprobar que en ese caso x máxima sería el cuádruple de y máxima.


llama la atención que la relación entre altura máxima y distancia horizontal máxima dependa sólo del ángulo con el que se lanza el objeto, y no de la velocidad inicial ni la gravedad. eso significa que se cumpliría igual en otro lugar donde la aceleración de la gravedad tuviera un valor diferente, como en la luna. allí, por cierto, la baja gravedad hace que los astronautas puedan dar grandes saltos. tintín, el capitán haddock y el profesor tornasol se adelantaron a su tiempo. ^_^

24 comentarios:

  1. uy yo esas cosa jamas las entenderé.
    saludos

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  2. A sus pies maestro!
    Me has dejado literalmente con la boca abierta y es que no pillo una. De verdad que te admiro, esa capacidad para comprender esas cosas y explicarlas....mágico
    Tienes que ser un profesor muy guay
    Besazos

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  3. No sé si que los que andamos por aquí somos buenos alumnos (he de reconocer que me pierdo un poco con las mates) pero nos encantan tus explicaciones y cómo siempre sacas algo divertido con lo que relacionarlo. Ole Tintín :-)

    Besos mil

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  4. Pondré la excusa de siempre, soy de letras. No lo pillo. Así me pasa, que tengo que contratar profe para que explique a mi hijo mates y física. Eso sí,en Tintín soy de nota alta, jejeje. Feliz fin de semana.

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  5. ...Con estas explicaciones seguro que la niña saca sobresaliente. Para ti el abrazo

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  6. Madre mía, me dejas sin palabras.
    Un saludo

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  7. Yo adoraría tener gravedad baja para poder dar esos saltitos. Pero odiaría tener que resolver ese problema. Madre mía que difícil jajaja
    Besos

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  8. kristalle, todo es ponerse. :) las matemáticas y la física tienen una injusta mala fama.

    anacris, se intenta, jeje. tengo un pack de dos alumnas nuevas, de 1º y 2º de bachillerato, y estoy muy ilusionado con ellas. esto del tiro parabólico más o menos lo controlo, pero por ejemplo el tema de ondas que está dando la mayor, da más quebraderos de cabeza. ^_^

    emma, si os divertís ya está cumplido el objetivo, jeje. el otro día en una quedada me decían "no entiendo tus posts, pero me lo paso pipa!". cuando doy clase de verdad sí que conviene que se enteren, si no, mal vamos. ^_^

    ángeles, yo las aventuras de tintín también me las conozco bien, las descubrí de adolescente. aunque a veces veo una viñeta aislada y dudo de qué aventura es. lo cual es un estímulo para releerlas y fijarme en cosas en las que no me había fijado antes. espero que tu hijo logre aprobar con las ayudas que sean necesarias.

    besos!!

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  9. ester, es posible que lo saque, porque esa chica y su hermana aprueban, pero quieren sacar mejores notas. por un lado un reto para mí porque no se trata sólo de que aprueben sino de algo más, pero por otro lado, como son listas y aplicadas, pondrán de su parte.

    maribel, este tipo de entradas las hago desde que empecé con el blog hace como nueve años, así que ya te acostumbrarás. ;)

    pirulí, a ella le asustaba un problema sin datos numéricos, y yo le dije "esto es muy de escuela de ingenieros". es una chica muy simpática y risueña, no la veo yo de ingeniera.

    besos!!

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  10. Dios santo, jamas me hubiese imaginado un posteo sobre física, te vuela la mente, peor la resolución que le diste es muy graciosa xD

    Un beso, y me quedare pendiente a tus nuevos posteos =)

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  11. I don't understand all of it, but nevertheless I would like to understand! It's a very interesting puzzle to solve, with so little information to rely on. You're a wizard! :-)
    I think it would be a great experience to jump around on the moon, like Tintin and Haddock, and test how high and far one can jump :-)
    Hugs

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  12. Maravillosa explicación, así como seguro, será fructífera para tu alumna; yo ando un poco despistada en estos temas, pero no por ello dejan de fascinarme; y me encanta razonar y entender todos esos problemas que nos muestras. Así que un verdadero placer, querido amigo. Eres un crack.

    Bsoss miles, y muy feliz finde.

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  13. Pues mira, hoy medianamente me he enterado. Me siento orgullosísima. Jajajaja. Besotes!!!

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  14. paula, bienvenida!! sí, me gusta mezclar las mates y la física con cosas de la vida cotidiana, y con los comics también. ^_^ me alegra que te haya gustado!

    millicent, tintin and captain haddock landed on the moon twenty years before neil armstrong and the other astronauts did. it's amazing how far they could jump, considering that the astronaut costume is really heavy!

    ginebra, hay cosas que aunque no se entiendan al 100% resultan amenas. a mí me pasa cuando leo libros de stephen hawking. pasar un buen rato aquí es de lo que se trata. :)

    álter, pues tienes tu mérito, porque son ecuaciones trigonométricas! no debes dudar nunca de tu propia capacidad. ;)

    besos!!

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  15. Estar en la luna tiene sus ventajas, en la Tierra todos pesamos demasiado y todo " pesa" más.

    Un abrazo.

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  16. Habrá que irse a la luna a dar saltos, se sentirá como si uno volara...

    Que suerte que se te den tan bien las matemáticas... Yo no puedo decir lo mismo :)

    Muchos besos, Chema.

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  17. Bueno, yo sería incapaz de calcular nada. Como mucho, tiraría el objeto al aire y mediría la distancia recorrida con un metro de modista. Y la altura, a voleo, nunca mejor dicho. Y hale, lo que me dé, lo divido entre dos y pongo el resultado a la profesora.
    Algún examen ya hice al tuntún...
    Besitos

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  18. Recuerdo esos problemas y no se me daban nada bien...Seguro que tú los explicas estupendamente y tu alumna no va a tener ningún problema en resolverlos.
    Me ha encantado pasear contigo por Madrid!!!
    Un abrazo

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  19. amapola, yo soy mucho de "estar en la luna" en sentido metafórico, pero molaría estar allí en sentido literal.

    sakkarah, además allí al haber menos gravedad, si se te cae algo al suelo no se rompe, o incluso te da tiempo a agarrarlo al vuelo.

    rosana, me mola ese planteamiento empírico, si yo fuera profesor te pondría buena nota por tu creatividad. :D para hacer tus conjuntos tan bonitos para las nancys seguro que usas cinta métrica. sabes más matemáticas de las que crees!

    princesa, a mí los problemas de cinemática y dinámica se me quedaron muy grabados, pero en cambio otros temas que vi más de refilón como ondas, me las estoy deseando para repasarlos y explicarlos.

    besos!!

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  20. Ejem.... gran entrada, la he leído y no he entendido nada, salvo que en la luna se pueden dar grandes saltos. Mi admiración total, Chema!!!
    Besosssss

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  21. ¡¡Ostras!! que blog tan llenito de cosas ¡¡que interesante esto que cuentas!! y por lo que veo otros post también lo son, aunque te soy sincera que esto del Tiro parabolico me deja...fuera de juego ;) No obstante, el saber no ocupa lugar y a mi me encanta aprender. Te espero por mi blog lleno de ilustraciones sobre la vida loca siendo mamá , Un besazo enorme, vamos a darlo todo esta semana ¡¡que a la cuesta de enero se le ve el final!! jajajaja. Estamos en contacto ¡¡muás!!

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  22. maite, los astronautas que llegaron a la luna en 1969 también se pusieron a dar saltitos. :D aunque hay teorías de la conspiración de que no llegaron realmente a la luna, y aquellas imágenes se grabaron supuestamente en algún desierto por la noche...

    natalia, bienvenida!! sí, en este blog, otra cosa no, pero hay temas muy variados. :D no en vano me gustan los grupos musicales que hacen diferentes tipos de música y que tienen a varios miembros que componen canciones, cada uno con su estilo: beatles, genesis, fleetwood mac... pues de la misma manera, me gusta que mi blog sea ecléctico. ^_^ ahora me paso por tu blog. :)

    besos!!

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  23. Me encanta como lo explicas todo. Sabes que me gustan muchas cosas de las mates pero odio las parabólicas, siempre me hacían repetir los dibujos porque de tanto borrar presentaba unos desastres...
    Besos y feliz jueves.

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  24. gemma, yo para dibujar bien las parábolas y cualquier curva -como elipses, senoidales y otras- tengo que hacerlo representando muchos puntos y trazándola con mucho cuidado, porque si no me salen unos churros considerables.
    besos!!

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