lunes, 27 de noviembre de 2017

polinomios


uno de los temas que más me gusta explicar es la factorización de polinomios. las raíces de un polinomio son aquellos valores de x que lo hacen igual a cero.

un polinomio genérico de grado n se puede expresar como:
an·xn + an-1·xn-1 + ... + a2·x2 + a1·x + a0

con carácter general tendrá n raíces -tantas como su grado-, aunque puede darse el caso de que tenga menos. su factorización tomará la siguiente forma:
an·(xraíz1)·(xraíz2)·...·(xraízn)

como ejemplo, vamos a analizar el caso de un polinomio de grado 3. primero tenemos que encontrar una raíz por tanteo y dividir el polinomio por x menos esa raíz, por ruffini o si se quiere por división polinómica normal. hecho eso, pasamos a tener una ecuación de grado 2, que resolveremos por la conocida fórmula. y de esa manera obtendremos las otras dos raíces.


un polinomio de grado impar siempre tendrá como mínimo una raíz -otra cosa es que sepamos calcularla-. sin embargo, no podemos asegurar lo mismo de un polinomio de grado par. a veces nos encontramos con un polinomio irreducible, que no tiene raíces.

la factorización de polinomios se asemeja a la descomposición en factores primos para los números enteros. te puedes encontrar con un factor primo muy grande y feo, tipo 31 ó 47, que ya no se puede descomponer más. pues algo parecido ocurre con los polinomios. en la factorización te puedes topar con un polinomio ‘primo’, que a pesar de ser de grado 2 -o incluso grados pares superiores- ya no se puede descomponer.

a mis alumn@s les digo que un polinomio irreducible es como una piedra que no se puede partir, de ahí la viñeta que he puesto al principio. :P veamos un ejemplo de otro polinomio de grado 3 que tiene una solución fácil de encontrar por tanteo, pero tras dividir por ruffini pasamos a un polinomio de grado 2 sin soluciones. éste se incorporará tal cual a la factorización, dado que no se puede ‘trocear’ más.


como decimos, hay polinomios de grado par que no tienen raíces... reales. sí tendrán raíces complejas, algo vetado en cursos en los que aún no se dan los números complejos. pero se puede llegar más lejos y factorizar el polinomio del ejemplo anterior mediante sus raíces complejas.


gracias a los números complejos, logramos factorizar polinomios que eran irreducibles si nos ceñíamos a las soluciones reales. después de todo, sí que se podía partir el pedrusco que poníamos como símil. es algo parecido a usar como herramienta de corte un diamante, que es más duro que cualquier material y puede crear fisuras sobre el mismo, logrando romperlo.

19 comentarios:

  1. Al final en todas las áreas y profesiones hay buenas herramientas , en matemáticas no es la excepción.

    Besos.
    Buen post.

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  2. Ay qué bien lo explicas. Adoro los polinomios, a veces los hago para desestresarme, hay cosas de mate que se me dan fatal pero los polinomios o los sistemas de ecuaciones me fascinan y los prefiero a los sudokus.
    Besos y muy feliz semana.

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  3. A mi lo que me gustan son las viñetas jejejeje

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  4. Ui Chema esta entrada sí que es demasiado para mi body. Hace 10 años lo hubiese disfrutado pero ya no. No eres tú, soy yo jejeje
    Besos

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  5. amapola, para el símil de descomponer un polinomio por sus raíces complejas pensé en el diamante y también en rayos laser y cosas de esas, jeje.

    gemma, las funciones polinómicas son interesantes para hallar sus soluciones y también para representarlas, con sus máximos y mínimos, sus puntos de inflexión...

    geno, esta vez han tocado zipi y zape y superlópez. la de zipi y zape es de una historieta mítica en la que quieren hacerse mayores. ^_^

    pirulí, no te preocupes, es normal que las cosas se oxiden de no usarlas, jeje. por ejemplo, yo mismo flipo con algunos temas de dibujo técnico de bachillerato que se supone que di en su día.

    besos!!

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    1. Mira dibujo técnico me gusta más. Lo de dibujar caras y perspectivas era mi favorito. Pero no recuerdo que más dábamos jajaj

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  6. ¿Sabes que a mí se me daban bien los polinomios? y eso que no me gustaban nada las mates, pues ahora al verlos aquí me has recordado cómo se hacían porque ya los tenía más que olvidados.

    Y qué buenas las viñetas, especialmente, la que me gusta es la de Zipi y Zape, mis siempre preferidos.

    Besos.

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  7. Ay, madre, qué olvidada estoy de todo esto... No me acuerdo de nada. Jajajaja. Besotes!!!

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  8. Amigo Chema, me has matado jajajaja... te felicito, no me queda otra. Qué grande eres!!!!

    Mil besitos y feliz inicio de semana.

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  9. Mira Chema, he de ser sincera, y a mí me gustan mucho más los diamantes que los polinomios, así que de toda tu entrada, me quedo con Superlópez a ver si me hace a mí un par de esos para las orejas... ;P
    Besitos

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  10. Te lo "curras" (perdón por la expresión, pero la viñeta me ha contagiado) muy bien, incluso nos lo escribes a mano, un lujo contar con un profesor tan dispuesto a que aprendamos. Un abrazo

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  11. maría, el tema de los polinomios, más o menos gusta a los alumnos y se les da bien. estos últimos meses me he pegado una maratón de releer tebeos de zipi y zape y de otros personajes de escobar como carpanta y petra.

    álter, es normal que se olviden las cosas que no se usan, a mí también me pasa, jeje. lo he notado sobre todo en dibujo técnico, con temas que di hace más de veinte años de refilón, y desde entonces nada.

    auroratris, estuve a punto de llamar a la entrada 'polinomios y pedruscos' o algo así, jeje. es que a una alumna el otro día le decía "este polinomio es irreducible, es un pedrusco que no hay quien lo parta!".

    rosana, tienes buen gusto, porque los diamantes también son interesantes desde el punto de vista matemático. :D están formado por átomos de carbono en una estructura reticular tetraédrica. yo espero encontrar alguno también...

    ester, con el procesador de texto se pueden escribir todo tipo de símbolos, pero a mano queda más cálido y humano. las hojas de las clases particulares que doy tienen un aspecto parecido, con muchos colorines aunque peor letra, ya que el tiempo es oro y tengo que ir ágil.

    besos!!

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  12. Madre mía, será que hoy estoy espesita pero no me he enterado de nada. Me quedo picando piedras y leyendo cómics ;-)

    Besos mil

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  13. A mí de esta entrada, lo que me gusta es Superlópez, para qué te voy a engañar. De lo demás no me he enterado, qué le vamos a hacer...
    Besos.

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  14. Todo lo interesante es doblemente bueno, a ti los polinomios a mi las letras. Pero has dado una magistral explicación del concepto, ¡Ahí le has dado!...Besos Chema:))

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  15. Tengo que reconocer que después de tanto tiempo, me pierdo jajaja, pero está bien refrescar de vez en cuando, y contigo es una maravilla!

    (No sé si te habrás pasado ya, pero publiqué el proyecto y los textos de “variétés” en *Paraíso*; darte también por aquí las gracias por tu participación, querido amigo)

    Bsoss, y feliz día!

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  16. Ah!!! Sólo sé que mi hija mañana tiene examen de polinomios...
    Besosss

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  17. emma, no te preocupes, es normal cuando se lleva tiempo sin dar estos temas, jeje. qué ganas de leer tu nueva obra! será más bonita que los polinomios, seguro. ;)

    ilona, mola mucho superlópez, y también zipi y zape, que están en la viñeta de arriba, jeje. junto con esther y los pitufos, son los que más aparecen en mi blog.

    rosana, ya sabes, en este blog conviven las matemáticas y la vida cotidiana. es como las tiendas abac (había una cerca de donde vivo pero la quitaron y la echo mucho de menos), en las que hay de todo.

    ginebra, hay cosas que tenemos en algún rincón de nuestro cerebro. aahh, es verdad, lo de la historia con varias palabras! ahora lo miraré, gracias guapa!

    maite, y también una alumna mía a la cual le he dado hoy una clase de repaso bastante intensa. de ahí me vino la inspiración para esta entrada. suerte para tu hija!!

    besos!!

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  18. Eliminé tu comentario sin querer!!!!
    Esos polinomios me traen buenos recuerdos
    Un Abrazo

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