viernes, 7 de julio de 2017

aros


dos circunferencias se cortarán entre sí en dos puntos, en uno o en ninguno dependiendo de que la distancia entre sus centros sea respectivamente menor, igual o mayor que la suma de sus radios.

para simplificar, supondremos que ambas circunferencias tienen el mismo radio. habrá que comparar la distancia d entre sus centros con el doble de su radio, 2·R -o lo que es lo mismo, su diámetro, si se prefiere-.


en el caso de dos circunferencias que se cortan en dos puntos, podríamos preguntarnos cuánto mide el área que queda encerrada entre ambas.


esa figura en forma de melón, si nos damos cuenta, son dos segmentos circulares yuxtapuestos. el área del segmento circular coloreado en rosa es la diferencia entre el área del sector circular -el ‘gajo’ delimitado entre dos radios- y el área del triángulo coloreado en verde cuyos lados son esos dos radios y la cuerda con la que hemos cortado el círculo.


para hallar el área del mencionado triángulo, en primer lugar aplicaremos el teorema de pitágoras. tenemos que hallar el cateto vertical x del triángulo rectángulo coloreado en amarillo, cuya hipotenusa es el radio R y cuyo cateto horizontal es la mitad de la distancia entre los centros de las circunferencias, d/2.


la base de nuestro triángulo es el doble de la distancia que acabamos de calcular, es decir 2·x, y su altura es la mitad de la distancia entre los centros, d/2. ya podemos calcular su área.


el área de un sector circular es el área del círculo completo multiplicada por el coeficiente de proporcionalidad del ángulo de dicho sector -en nuestro caso 2·α, siendo α el ángulo del triángulo rectángulo auxiliar- con el ángulo completo, es decir 2·π.

el coseno de α es el cociente entre d/2 y R. por tanto, α será el arcocoseno de dicha razón entre distancias. y con ello ya se puede calcular el área del sector circular.


lo más difícil ya lo hemos hecho. ahora, para obtener el área del segmento circular sólo tendremos que restar las dos áreas que hemos calculado. y no nos olvidemos de que el área de intersección entre dos círculos será el doble del área de ese segmento, es decir que la expresión anterior la multiplicaremos por 2.


tantas circunferencias enlazándose entre sí me hacen pensar en los pendientes de aro, que me resultan atractivos en las chicas. una chica de mi escuela que me gustaba porque era muy misteriosa, un día se puso unos pendientes de aro muy grandes, que contrastaban con su sobria manera de arreglarse...

hay un capítulo de esther en el que nuestra amiga es hipnotizada por una maga que actúa en una función, a través de sus vistosos pendientes. bajo el estado hipnótico se desinhibe hasta el punto de comportarse histriónicamente, y recae cada vez que ve cualquier objeto en forma de aro brillante.

14 comentarios:

  1. Me he dado cuenta de que leer tus post de matemáticas me relaja. Es como tener algo estable a lo que agarrarse. Como será que cuando voy sola por la calle suelo contar mis pasos. Los que hay en un paso de cebra, los escalones del metro...Y los pendientes de aro me gustan ;-)

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  2. Yo tuve aros de esos enormes. Estuvieron muy de moda. Ahora son más bien de chonis y ya no los uso. Jajajaja. Eso sí, todavía los tengo... Besotes!!!

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  3. Me has recordado con esta entrada años atrás, con el Teorema de Pitágoras y cuando había que hallar el área y todo eso, qué tiempos aquellos, Chema, y también esos aros que me encantaba llevar en mi juventud, ainsss, qué recuerdos.

    Besos.

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  4. Hola Chema!!...recuerdo hacer los círculos con mi compás, desde el epicentro donde la aguja quedaba clavada y haciéndola girar para que quedara perfecto. También he usado pendientes de aro hace algunos años, aunque aun los conservo, ya no me los pongo. Besos!!

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  5. emma, precisamente a mí las matemáticas me gustan porque son algo estable en un mundo en el que todo el mundo tiene su propia verdad. lo de contar los pasos y los escalones yo generalmente no lo hago, en eso eres tú más matemática que yo!! ;)

    álter, también depende de las modas y de quién los lleve, jeje. me gustan los pendientes de aro pero hasta cierto punto, tampoco que sean como argollas de cortina. :D

    maría, una alumna mía me suele decir cuando la pongo a hacer problemas de geometría: "aquí habría que hacer una especie de teorema de pitágoras, no?", y yo le respondo "nada de *una especie de*, es un teorema de pitágoras en toda regla!".

    rosana, hay que clavar bien la punta del compás, porque si no se escurre, sin ir más lejos me pasó ayer cuando hacía los dibujos para esta entrada. hace como un año por fin me compré un compás con adaptador, para poder trazar las circunferencias con rotulador de punta fina.

    besos!!

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  6. Recuerdo al historia de Esther de la que hablas, de las más divertidas ¡pobrecita, cuando se entera que mal lo pasa!

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  7. ¡¡¡Hola!!!
    Yo tenía muchos pendientes de aro enorme, me siguen encantando pero al ser de chonis, como dice Álter a veces dudo, lo que hago es ponerlos con cositas arregladas, no con mallas y camiseta de leopardo, jejeje.
    Besos y feliz finde.

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  8. Tu entrada me recuerda a la presentación que hacen los magos con los aros... Magistral...
    Yo también llevé aros hace ya ... Tendría que remontar Muy atrás, amigo Chema.

    Mil besitos y feliz noche.

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  9. Bueno, yo tengo unos pendientes de aro pequeñitos, que me gustan mucho y los llevo con frecuencia... vaya lección de mates!!!! Besos y buenas noches

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  10. geno, así es, tras salir del trance hipnótico no se acuerda de lo que ha pasado, y se entera por quienes han sido testigos. juanito le dice "ni doreen snyder montaría un número así!".

    gemma, supongo que es cuestión de quién lo lleve y de cómo sea el resto de su atuendo. aquella chica que menciono al final, me daba mucho morbo con su sudadera, su pantalón de pana, sus deportivas y con los pendientes de aro, era un contraste curioso, jeje.

    auroratris, al escribir esta entrada dudé de si 'maga' en femenino estaba bien dicho. la alternativa era 'hechicera', que en este contexto no me convencía. los pendientes supongo que son cosa de modas y de épocas de la vida.

    maite, si son pequeñitos resultan muy elegantes. a veces hago retratos a lápiz muy simples, y me gusta dibujar ese tipo de detalles: los pendientes, los colgantes... e mi blog una entrada de cada tres o cuatro es de mates, para no saturar, jeje.

    besos!!

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  11. Buenos días Chema! me encanta esa habilidad de encontrar siempre la viñeta de comic apropiada a cada tema que utilizas!! Eres un crack!
    A mí nunca me han hipnotizado pero sí que lo lograron con una amiga mía cuando teníamos 14 años, en el colegio. Siempre me ha resultado increíble pero ella está convencida. Vamos y todas vimos cómo resultaba hipnotizada!
    Yo he tenido algunos pendientes de aro pero creo que no me quedan bien...
    Besitos

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  12. Bueno ahora los aros grandes no se llevan muchos ¿no? Pero en mi época de estudiante los llevábamos todas, bien grandes y hasta en una época de colores (normalmente a juego del pantalón que se llevaban fosforitos). ¿recuerdas esa época? Yo me veo en fotos y muero de vergüenza...
    Tu explicación de que la distancia entre los centros en función de los radios de las circunferencias marca los cortes entre ellas nunca lo había oído y es pura lógica. Creo que no estuve nada atenta en el insti...
    Besos

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  13. rosana, en cuanto encuentro un tema matemático o físico y una viñeta con la que pueda relacionarlo (de forma más o menos natural, ejem), ya tengo tema para un nuevo post. a mí me daría un poco de miedo que me hipnotizaran. creo que en las terapias psicoanalíticas se hacía o se hace...

    pirulí, en las clases siempre intento explicar las cosas de manera lógica para que se entiendan para siempre y ya nunca se olviden, pero hay alumn@s que en cuanto te pones a contarles algo que se salga mínimamente del guión marcado por el profesor de su colegio, desconectan. en cuanto al tema pendientes y otros accesorios, las chicas de mi universidad eran muy espartanas... 3:)

    besos!!

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  14. Antes me gustaban mucho los pendientes de aro grandes.

    Un beso.

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