domingo, 7 de mayo de 2017

complejidad

no puedo negarlo, me gustan los números complejos más que a un tonto un lápiz. y en particular esta fórmula, que me ha dado juego para varias entradas.
eix = cos(x) + i·sen(x)
dicha fórmula relaciona las funciones exponenciales con las funciones senoidales a través de los números complejos, y gracias a ella las exponenciales y las senoidales pueden transformarse unas en otras, en ambos sentidos.

algo así como cuando mortadelo se disfraza...


a partir de la mencionada ecuación, vamos a despejar el seno y el coseno, para hallar después la tangente como razón entre ambos. haremos algo parecido a un sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta que el seno es una función impar y el coseno es una función par.


ahora vamos a obtener la función inversa de la tangente, es decir la arcotangente. para ello, en primer lugar intercambiamos las variables x, y. a continuación despejamos y, tomando logaritmos.


la derivada de la función arcotangente es 1/(1+x2). por definición, arcotg(x) es el ángulo cuya tangente es x. siempre me ha parecido sorprendente que la derivada de una función trigonométrica -inversa, pero trigonométrica al fin y al cabo- dé un cociente de polinomios.

vamos a demostrarlo derivando la expresión logarítmica que hemos obtenido para la arcotangente. aplicamos las propiedades de los logaritmos y hacemos la suma de las fracciones algebraicas que nos aparecen. y así deducimos que la derivada de arctg(x) es, efectivamente, 1/(1+x2).


las funciones trigonométricas transformadas en exponenciales / logarítmicas -o viceversa- son muy útiles para descubrir y demostrar propiedades. pero son tan irreconocibles como mortadelo disfrazado de señora.

17 comentarios:

  1. Dos entradas respondidas en el mismo día??? Bueno, ya no, que ahora es otro día.
    Como ya supondrás, no me he enterado de nada de los senos y los cosenos, pero me encanta que dejes este tipo de entradas para la humanidad estudiantil, seguro que con tu forma de explicarte y con las viñetas tan majas que pones les resultan mucho más atractivas. Por mi parte, sólo decir que Mortadelo es saladísimo!!!! ja,ja, ja, (Matemáticamente, soy un caso perdido)
    Besitos

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  2. Hola Chema, ya sabes que al ser de letras lo de los números no lo controlo bien, pero te diré que en la sopa de letras (que también he jugado en algún momento de mi vida) como pasatiempo, existe este complejo, aplicado a cada letra que compone el recuadro, donde hay que encontrar las palabras que se encuentran escondidas en él. Besos y feliz domingo!!

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  3. Hola Chema!!!
    Me has traído recuerdos del profesor que me enseñaba esta parte de las matemáticas, era genial explicando.
    un beso.
    Arien.

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  4. Suerte tienen tus alumnos de tener un profesor como tú.

    Me encanta cada vez que pones viñetas de los tebeos, en este caso de Mortadelo y Filemón.

    Besos.

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  5. rosana, se me ocurrió esta transformación de la arcotangete, y eso merecía una entrada en el blog. pero era algo muy abstracto y no sabía cómo hacerlo ameno. la próxima entrada será más ligera, ya sabes que doy una de cal y otra de arena, jeje.

    rosana, a mi madre suelo comprarle el national geographic de niños (hoy sin ir más lejos), porque le gustan los animales y es un poco infantil. siempre hace la sopa de letras que hay a veces en los pasatiempos.

    arien, esta parte de las derivadas de las funciones es bonita. a veces les digo a mis alumnos "esto lo entenderéis mejor cuando deis las derivadas". tengo una alumna de 4º de eso, y me da que este año ya no las van a dar.

    maría, se intenta, jeje. mortaelo y filemón son geniales. ibáñez -su dibujante- va a firmar el sábado que viene en madrid, y si nada me lo impide acudiré. le he visto en persona otras veces, es simpatiquísimo.

    besos!!

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  6. Amigo Chema, admiro tu amor por la complejidad, en serio que sí. Yo soy incapaz o necesito mucha motivación para darle el merecido interés a este tipo de operaciones.
    Gracias por tu demostración... eres uno de los Grandes, aunque eso ya te lo dije en su momento, pero te lo repito.

    Mil besitos y feliz día.

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  7. ¡¡¡Hola!!!
    Uffff, yo tuve pesadillas con esta fórmula, luego le cogí el tranquillo pero de ahí a sentir ese amor que tú tienes...lo explicas genial y haces que parezca fácil y todo.
    Besos y muy feliz semana.

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  8. A mí que me expliquen en qué se parece esa fórmula tan chula a Mortadelo vestido de avestruz jajaja
    En su momento yo dí esa fórmula y hasta la sabía usar. Ahora me suena a chino mandarín jajaja
    Besos

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  9. Hola saludos no entiendo nada de formulas pero si de leer y reír con tus comics me encantan. Besos

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  10. auroratris, ya será menos, jeje. las matemáticas tienen cierta parte metafísica. leibniz dijo que los números complejos eran "anfibios entre el ser y la nada".

    gemma, es mi parte favorita de las matemáticas. para mí, los números complejos son a las matemáticas lo que genesis a la música. tienen una magia especial.

    pirulí, pensaba usar viñetas de una mujer mutante que aparecía en una historieta de vázquez, pero luego me di cuenta de que mortadelo con sus disfraces es más conocido, jeje.

    nany, de mortadelo y filemón no he usado demasiadas viñetas para lo importantes que han sido en mi vida. ésta era una buena ocasión. ^_^

    besos!!

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  11. Como siempre, las viñetas geniales y el resto supongo que también pero a mi me supera, ya lo sabes jajajaja

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  12. A mí también me supera, jajajajajaja Pero da gusto leerte siempre porque lo haces todo muy ameno.

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  13. Algún día, cuando termine los proyectos que tengo entre mano y que quizá sea para julio, voy a intenter sorprenderte con mis dotes matemáticas en uno de estos posts en lugar de poner cara de haba, que diría mi abuela.

    Aunque eso sí, Mortadelo disfrazado de avestruz bien se valía su propio post, aunque fuera de índole numérica.

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  14. geno, hasta a mí me supera. me he dado cuenta de que aplicando la regla de la cadena se demuestra en dos líneas lo que yo he hecho en ese mogollón de cálculos. :P

    merchi, se intenta hacerlo ameno, jeje. hoy tengo clase con mi alumna de 4º de eso. ha tenido exámenes hace poco y habrá empezado temas nuevos, a ver con qué me sorprende.

    holden, esa viñeta es de la primera aventura larga de mortadelo y filemón, 'el sulfato atómico'. aunque digan que esa aventura tenía mucha influencia del comic belga, muchos de los gags son de ibáñez en estado puro.

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  15. Uff, qué olvidadas tengo las matemáticas, que hasta seguro me pongo hacer una división y no sé sin calculadora... Menos mal que hay profes como tú que lo hacen muy ameno para sus alumnos. Yo me quedo con la lectura y Mortadelo y Filemón ;-)

    Besos!

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  16. Hola Chema
    Ya veo que sigues con tus matemáticas y tus comics...a ésta hora las fórmulas matemáticas me cuesta digerirlas pero me quedo con tus viñetas de comic.Mi hermano siempre compraba tebeos de Mortadelo y Filemón y me encantaba leerlos!
    Un Abrazo

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  17. emma, no creas, que yo he tenido que recordar algunas cosas como hacer raíces cuadradas a mano, para poder explicarlo a mis alumnos, jeje. no es excesivamente difícil, pero se olvida. mortadelo y filemón son míticos!

    princesa, esta entrada la hice un poco para mí mismo porque es un tema que me gusta mucho, pero es demasiado abstracta y teórica. :) últimamente meto viñetas de comics en todas las entradas, menos en las de recorridos fotográficos y alguna más...

    besos!!

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