miércoles, 29 de marzo de 2017

raíz de 2


si preguntas cuál es la raíz cuadrada de 2, te pueden dar respuestas muy variadas.
1? no, porque 1 por 1 es 1. buscamos un número que multiplicado por sí mismo nos dé 2.
1,5? no, porque 1,5 por 1,5 es 2,25. se pasa.

el número que buscamos debe estar entre 1 y 1,5. haremos la media aritmética de esos dos valores -1,25- y probaremos a elevarla al cuadrado. como nos quedaremos cortos, haremos la media entre 1,25 y 1,5 y lo intentaremos de nuevo.

de ese modo, iremos acotando cada vez más la zona donde se encuentra la raíz de 2. cuando nos pasemos, haremos la media con el último valor con el que nos hayamos quedado cortos. análogamente, cuando nos quedemos cortos la media la haremos con el último valor con el que nos hayamos pasado.

1,5*1,5 = 2,25

(1+1,5)/2 = 1,25
1,25*1,25 = 1,5625

(1,25+1,5)/2 = 1,375
1,375*1,375 = 1,890625

(1,375+1,5)/2 = 1,4375
1,4375*1,4375 = 2,06640625

(1,375+1,4375)/2 = 1,40625
1,40625*1,40625 = 1,9775390625

(1,40625+1,4375)/2 = 1,421875
1,421875*1,421875 = 2,021728515625

(1,40625+1,421875)/2 = 1,4140625
1,4140625*1,4140625 = 1,99957275390625

como veis, con siete iteraciones hemos aproximado √2 hasta la milésima. aunque la manera tradicional de resolver raíces cuadradas es más rápida, siempre que nos acordemos de cómo se hacía...


la raíz de 2 es la diagonal de un cuadrado de lado unitario. de eso trataba uno de los textos de filosofía que teníamos que estudiar para selectividad. era un diálogo de sócrates en el cual el filósofo griego dibuja un cuadrado y le plantea una serie de preguntas a un criado, para que éste supuestamente deduzca cuánto mide la diagonal.

el razonamiento de sócrates, de manera resumida, se puede explicar así: el cuadrado ABCD está formado por cuatro cuadrados unitarios -de lado 1 m por ejemplo-, y por tanto su área será de 4 m2. por otro lado, el cuadrado EFGH está formado por cuatro mitades de los cuadrados pequeños, y por tanto su área será 4*1/2 = 2 m2.

si nos fijamos, los lados del cuadrado rosa EFGH son las diagonales de los cuadrados pequeños. y como el área es igual al lado elevado al cuadrado, si el área vale 2 querrá decir que el lado mide √2. por tanto, √2 es la diagonal de un cuadrado de lado 1.


sócrates pretende demostrar que el conocimiento se encuentra en el interior de cada persona, y que en realidad no aprendemos sino que recordamos. pero el buen hombre al que sócrates interroga no resuelve por sí solo el problema planteado, tan sólo asiente a todos los pasos que va dando el filósofo.

en cualquier caso, el método de formular preguntas a una persona para entresacar los conocimientos que tenía y de los que no era consciente, se denomina mayéutica. cuando mi profesor de filosofía de cou lo explicaba, me parecía que decía bayéutica con b. no sé si el problema estaba en mi oído o en la dicción de aquel profesor. o quizá estaba acatarrado...

17 comentarios:

  1. Jajaja, seguro que el problema lo tenía el profe.
    Me apunto la palabra porque aunque conocía(y no recordaba, casualmente) la teoría de Sócrates, no sabía el nombre de ese método.
    Como siempre me ha encantado el post.
    Un besín y muy feliz miércoles.

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  2. Hace tiempo que olvidé por completo como hacer una raíz cuadrada y me consta que no soy la única persona a la que le pasó jajajjaj

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  3. Cuando en nuestra vida cotidiana, profesional o personal, no manejamos este tipo de problemas (raiz2), es de suponer que se olvide con el tiempo. En mi caso es que soy de letras así que no sé si algún día las llegué a plantear bien. Siempre se aprende algo nuevo o repasar algo estudiado a tu lado. Besos Chema y feliz noche!!

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  4. Me ha chocado mucho lo de Sócrates queriendo demostrar... Todos llevamos el conocimiento dentro de uno mismo y no aprendemos si no que recordamos... Es curioso y reflexivo a la vez.

    Mil besitos, amigo Chema.

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  5. gemma, así es, se llama 'mayéutica' o 'método mayéutico'. aunque mal utilizado puede ser nefasto. un jefe que tuve, le preguntaba por ejemplo dónde podía encontrar cierta información y se ponía a hacerme preguntas (en un tono y con una expresión muy desagradable), supuestamente para que lo dedujera yo. en fin...

    geno, yo en mi época me fui de rositas porque los profesores que tuve no le daban apenas importancia, pero ahora no me ha quedado más remedio que aprenderlo para explicárselo a mis alumnos, jeje.

    rosana, en mi caso, al ser profe de mates (aunque sea particular), esas cosas las tengo muy presentes. el número raíz de 2 aparece mucho en matemáticas. la verdad es que es por lo menos la tercera entrada que le dedico. :P

    auroratris, posiblemente algo de razón tenía sócrates, aunque su manera de demostrarlo no fue la mejor, ya que a aquel criado al que le hacía preguntas en realidad "se lo daba todo hecho" como quien dice. pero es verdad que en el fondo sabemos más cosas de las que creemos...

    besos!!

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  6. ¿Sabes que me has recordado las raíces? porque ya ni sé dónde las había dejado jajaja después de tantos años, así que tu clase de hoy en este post me ha venido muy bien, chema.

    Besos.

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  7. genial, chema!!!me trajiste terribles recuerdos con las raices, pero recorde lo de mayeutica. como sea, te felicito!!!saludosbuhos.

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  8. Uy, la raiz cuadrada... tardé mucho en aprender a hacerla, y muy poco en olvidarla. O sea, utilizando la lógica matemática aunque sea traída por los pelos, la velocidad en que la olvidé fue inversamente proporcional a la velocidad empleada en aprenderla. Más o menos. ;-P

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  9. Esta vez si que no me he enterado de nada.
    Para mí las raices cuadradas que no daban justo simplemente no existían jjaja Es de lo que peor se me daba y nunca aprendí a hacerlas a mano y como en los exámenes siempre ponían los típicos de números justos me limitaba a hacerlo a la inversa, 11x11, no, 12x12, no, 13x13, esa sí y ponía 13 jajaja
    Besos

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  10. maría, el tema de potencias y raíces a los alumnos les cuesta mucho, y a mí me aburre un poco explicarlo porque lo repiten hasta la saciedad todos los cursos. en cambio cosas más difíciles como la trigonometría se les dan mejor.

    búho evanescente, las matemáticas y la filosofía están muy relacionadas. en la antigua grecia había muchos matemáticos-filosofos, y también en épocas más modernas: descartes, leibniz...

    ilona, buen ejemplo de proporcionalidad directa e inversa!! ;) a mí se me ha olvidado buena parte de las matemáticas que estudié en la carrera, pero sirvieron para que las matemáticas de nivel bachillerato se me quedaran grabadas a fuego. porque para aprender cosas avanzadas tienes que dominar las básicas...

    pirulí, las ecuaciones de segundo grado por ejemplo, suelen prepararlas para que al resolverlas salga una raíz exacta. si les sale un número muy gordo tipo 196 y no se acuerdan de cómo se hacían las raíces cuadradas, les recomiendo a los alumnos que lo descompongan en factores primos y luego dividan los exponentes de esos factores primos -que serán pares- entre 2.

    besos!!

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  11. Yo no me acuerdo ya de cómo se hacían a mano y la otra fórmula me parece muy cansinita. Jajajaja.
    Sócrates se complicaba mucho la vida. Con sólo mirar el cuadrado y sabiendo cuánto mide un lado del cuadrado grande, sabemos cuánto mide el del pequeño. Yo es que soy así, pragmática. Jajajaja. Besotes!!!

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  12. Chico. Què cabeza más buena tienes.
    Un abrazo.

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  13. He seguido el razonamiento pero con las mates me acabo perdiendo. Lo que más me ha gustado es lo de la mayéutica. No sabía cómo se llamaba esa técnica que usaba Sócrates, aunque había oído hablar de ella. El ejemplo que yo recuerdo es que puedes preguntar a alguien: qué ciudad tiene más altitud? Miranda de Ebro o Zaragoza? por ejemplo. Ese alguien diría que no lo sabe, pero razonando "mayéuticamente" llegará a la conclusión de que el Ebro pasa primero por Miranda (que está en Burgos) que por Zaragoza (más cerca de la desembocadura y por tanto del mar), por lo que Miranda tiene más altitud que Zaragoza. Buff, me ha costado explicarlo.... ;P
    Besos

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  14. Por dios que suspendi Matematicas eh ja ja ja
    saludos

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  15. álter, el famoso diálogo de sócrates sobre el cuadrado, pensaba transcribirlo pero lo busqué y era mucho más largo de lo que recordaba, ocupaba varias páginas. yo lo he resumido en un par de párrafos. :P ese método de aproximar la raíz cuadrada que he mostrado, es interesante desde el punto de vista didáctico pero muy poco útil. ^_^

    amapola, gracias! :) no sé si tendré buena cabeza, pero mejor que la del que creó la página de facebook "el azote del progre" seguro que sí.

    rosana, me gusta ese razonamiento! por cierto, el nacimiento del ebro es muy bonito. está en reinosa, donde fui mucho de pequeño en verano. yo hace tiempo consulté el listado de capitales de provincia por su altitud, y deduje que bilbao sería de las más bajas porque está metida en un hoyo como quien dice, y así era.

    kristalle, no te preocupes, soy profesor particular de matemáticas y te aseguro que no eres la única. ánimo con ello!

    besos!!

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  16. Vaya tela, filosofía y matemáticas son uno, qué pena que yo no llegue a captarlo , ojalá en otra vida ;)
    Besos, Chema.

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  17. celia, tú eres capaz de eso y de mucho más. otra vida es lo que a mí me haría falta. ;)
    besos, guapa!

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