viernes, 9 de diciembre de 2016

números tramposos


mi modesta experiencia como profesor particular me ha enseñado que siempre se debe comprobar que una ecuación de 2º grado está bien resuelta. no hay que confiarse y dar por hecho que está bien sólo porque la raíz cuadrada que aparece en la famosa fórmula nos haya salido exacta.

con un ejemplo se entenderá mejor lo que quiero decir. resolvemos una ecuación de 2º grado y obtenemos dos soluciones...


pero puede que por error cambiemos el signo del ‘discriminante’ -palabra en desuso que se refiere a lo que hay dentro de la raíz cuadrada-, y sumemos cuando tenemos que restar o viceversa. y tal vez se dé el caso de que aunque nos hayamos equivocado nos siga saliendo una raíz exacta. eso no significa que esté bien.


y es que hay números engañosos, números tramposos, que tanto al sumarlos como al restarlos el resultado es un número con raíz cuadrada exacta -lo que en los libros antiguos de matemáticas llamaban ‘cuadrado perfecto’-.

vamos a intentar obtener una fórmula para generar parejas de números enteros que tengan esa propiedad: tanto si se suman como si se restan, el resultado será un número con raíz exacta.

llamaremos a y b a una pareja de esos números. queremos que cuando se sumen el resultado sea un número entero al cuadrado, al que llamaremos c2. y cuando se resten, el resultado deberá ser otro entero al cuadrado, que denotaremos como d2. operando de manera similar a cuando resolvemos un sistema de ecuaciones, obtenemos que a y b serán respectivamente iguales a la suma y a la diferencia de c2 y d2 dividida entre 2.


por tanto, ya sólo nos queda dar valores enteros a c y d para obtener esas parejas de ‘números tramposos’. como la fórmula que hemos obtenido va dividida entre 2, queremos asegurarnos de que tanto la suma como la diferencia de c2 y d2 sean pares, y que de ese modo al dividir entre 2 salga un número entero. y para que la suma o diferencia de dos números sea par, ambos deben ser de la misma paridad: o los dos pares o los dos impares.

no queremos tampoco que ninguno de nuestros números tramposos sea negativo, porque eso crearía confusión y se incurriría en duplicidades. al fin y al cabo, sumar un número negativo es como restar un número positivo, y restar un número negativo es como sumar un número positivo. por ello, impondremos la condición adicional de que c sea mayor o igual que d.


en la tabla que hemos construido, observamos que hay dos tipos de casos obvios:
1) a y b son iguales, y su valor es la mitad de un número con raíz cuadrada exacta. por tanto, su suma será igual a dicho número con raíz exacta, y su resta será cero. en ambos casos son cuadrados perfectos.
2) a es un número con raíz cuadrada exacta y b es igual a 0. tanto si sumas como si restas cero, el resultado será igual al cuadrado perfecto en cuestión.

pero los casos verdaderamente interesantes son aquéllos en los que a y b son diferentes entre sí y ninguno de ellos es cero. y a la vista de la tabla, existe una sucesión infinita de parejas de números tramposos:
(5,4), (10,6), (13,12), (17,8), (20,16), (26,10), (25,24), (29,20), (37,12), (34,30), (40,24), (50,14), (41,40), (45,36), (53,28), (65,16), (52,48), (58,42), (68,32), (82,18), (61,60), (65,56), (73,48), (85,36), (101,20), ...y muchos más...

y se puede comprobar que, efectivamente, tanto si se suman como si se restan el resultado es un número con raíz cuadrada exacta:


con esto creo que ha quedado claro el mensaje para los estudiantes: repasad bien las ecuaciones, porque de eso depende que saquéis una buena nota en el examen. además es más sencillo que repasar los cálculos de un astrónomo. ;)

22 comentarios:

  1. Sorprendente, amigo Chema. De ahí que se llamen tramposos.

    Mil besitos y feliz finde.

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  2. Chema los números y tú hacéis muy buenas migas. Ignoraba que hubiera números tramposos, mira la verdad yo siempre me fijaba en el resultado y si daba exacto pues estaba bien. En mi época estudiantil nunca me hablaron de esos números que engañan al resultado. Gracias por la aclaración.

    Besos y feliz fin de semana.

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  3. Números tramposos, que curioso, jeje. Pero yo, como Tintín "me basta con su palabra" jajajjajaj

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  4. Ayyyyyy esta era mi lucha con mis hijos, que siempre les decía que en los exámenes hiciesen "la prueba" como llamo yo a comprobar la ecuación, porque, especialmente mi hijo tenía esa teoría, exacta está bien e inexacta mal, y no, hay que comprobar.
    Qué pena no haberte conocido antes, lo explicas todo tan bien que me habrías facilitado mucho la tarea, porque claro, mis hijos también eran de; mi profe no lo hace así, jejeje, pero si te hubiesen leído lo habrían visto todo claro.
    Besitos y muy feliz fin de semana.

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  5. auroratris, la idea de ese tipo de números la tenía rondando en la cabeza hace tiempo. y como justo ayer a una alumna le pasó, y necesitaba un nuevo tema para actualizar, pues me vino en bandeja. ;)

    rosana, es del tipo de ideas que parece que no dan para una entrada, pero luego te pones a hacer los cálculos y a escribir el texto, y vaya si dan! acabé agotado anoche. ^_^

    geno, las viñetas son de la aventura 'la estrella misteriosa'. los científicos habían calculado que en cuestión de horas un meteorito impactaría sobre la tierra. tintín sugería que tal vez se habían equivocado en los cálculos, y muy ofendidos le invitaban a que los comprobara él. :D

    gemma, desde luego cuando en un ejercicio te sale un resultado muy 'redondo', muy exacto, es buena señal. pero con las ecuaciones de 2º grado hay que tener cuidado por eso. hasta yo alguna vez me he confiado al revisarle una ecuación de esas a un alumno: "vale, si le ha dado exacto seguro que está bien!".

    besos!!

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  6. No se me dan bien los números Chema.
    Besos.

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  7. Como algunas personitas, tramposillos.
    De haberte leído hace siglos ...
    Un beso, Chema

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  8. Chema!! No sabía que habías aprendido chino!! Por que eso es a lo que me ha sonado tu post! Debe de ser que hace mucho que dejé de ser estudiante y por eso no he entendido nada...
    De todos modos como bien dices al final de tu disertación en chino mandarín: "Me basta con su palabra, señor profesor, está todo perfecto"!! ;)
    Besitos

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  9. Me horroriza y avergüenza a partes iguales no recordar como se hace nada de esto.

    Espero que estés mejor después de lo que he leído que te pasó esta semana. Si hay que dejar calvo a alguien me avisas.

    Muchos besos

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  10. amapola, no te preocupes, a cada uno se nos dan bien cosas diferentes. tiene que haber de todo. :)

    ame, esos números son un poco como los 'false friends' en inglés. palabras que significan otra cosa distinta de lo que parece.

    rosana, en un post de hace tiempo que tenía unos cálculos muy complicados dije al final: "me puedo haber equivocado. si alguien repasa los cálculos y ve algún error, que me lo diga". pero nadie me dijo nada. ^_^

    eva, lo que explico en este post es un poco 'de mi cosecha', no es de las cosas que suelen explicar en el colegio, jeje. sí, estoy mejor, cosas de familiares tóxicos... gracias por el apoyo, guapa!!

    besos!!

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  11. Chema, estoy en medio de un break en la oficina y le estoy enseñando tu blog a una compañera. Su hijo de 12 años ha empezado ahora con las ecuaciones y las mates en general se le atragantan un poquito,así que le recomendaremos que se pase de vez en cuando por tu blog, que seguro que le será de utilidad.
    Bss

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  12. Me encantan estos post, me maravillan lo bien y lo ordenadito que explicas todo... Ahora estoy yo liada con inecuaciones... qué cosa más feísima!!
    Besitos!!

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  13. El post de hoy, más bien del viernes, está resultando demasiado para mí. Yo adoraba esos números y ahora al verlos me suenan a chino y además no me acuerdo. Estás hundiéndome en la miseria que lo sepas jajaja
    Besos

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  14. gen, eso me halaga! si necesita consultar algún tema específico dímelo y te busco la entrada más adecuada, porque en siete años que llevo he tocado casi todos los palos. :) cuando una asignatura te cuesta, siempre es bueno que alguien te dé un enfoque alternativo.

    ali, qué casualidad, yo también he estado con inecuaciones hace poco! los sistemas de inecuaciones con dos incógnitas son muy pesados, tienes que hallar intersecciones de áreas en el plano... espero que mi alumna de 4º de eso apruebe y se quite de encima esa parte. ^_^

    pirulí, no te preocupes, jeje. la semana pasada no estaba de humor para hablar de flores y pájaros, así que decidí escribir un post matemático de los enrevesados. ^_^ el siguiente será más ligero. quizá sobre el amigo invisible incorrecto, si me llega esta semana. :)

    besos!!

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  15. Debes ser un estupendo profesor de matemáticas!!!!!
    Besos

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  16. Dónde estabas metido cuando yo a mis 16 añitos hacía FP Administrativo y me peleaba con las ecuaciones de segundo grado y su santa madre??? Mi profe de entonces, Arcadio se llamaba, era un tío encantador y muy gracioso (recuerdo que le llamábamos Pepe Carrol como el tristemente fallecido mago, porque se parecían bastante) pero como profe de mates, era un desastre. Explicaba las cosas de una forma que no se aclaraban ni los más listos, imagina yo que para mí las mates eran como un mundo aparte...
    Lo dicho, que suerte la que tienen tus alumnos contigo.
    Besotes

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  17. A veces, leyendo tus entradas, me siento tan torpe jejeje... Hoy me ha pasado, porque no sólo no recuerdo nada, es que para colmo he intentado entenderlo y no lo he conseguido. Me rindo, jajaja... Ya sabes que los números y yo no somos compatibles, más bien lo contrario. ¡Qué penita no haberte tenido de profe! Besitos.

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  18. princesa, se intenta, jeje. cuando dan temas con aplicaciones reales, como por ejemplo las reglas de tres, les puedo poner problemas personalizados. les divierten y aprenden mucho.

    anacris, por entonces yo era tan joven como tú, pero si hubiéramos vivido en la misma ciudad, habrías podido venir a mi casa al igual que hacían otros compañeros míos. yo habría intentado enseñarte lo mejor posible, y mi madre te habría puesto una merienda como para estar alimentada el resto del día. ;)

    merchi, esta teoría de los números tramposos es una cosa un poco enrevesada 'made-in-chema', jeje. como profe también doy patinazos, no creas! precisamente la idea de esta entrada vino porque al revisarle a una alumna una ecuación de 2º grado, como salía una raíz exacta, pensé "bah, seguro que está bien", y resultaba que no. ^_^

    besos!!

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  19. Ainsss chema si te tuviera cerca, la falta que me haces para mi hija, y es que no se si encontraré un profesor de matemáticas como tú, pero la tengo que llevar a clases particulares porque ha suspendido la primera evaluación, qué disgusto tiene la pobre, pero se ha esforzado que ni te imaginas, lo que pasa que las matemáticas las tiene atravesadas.

    Un beso.

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  20. maría, si tu hija no sabe hacer algún problema o cualquier cosa, escríbeme por facebook! también es que los profesores de los colegios son muy cansinos. no corrigen en plan de ver si el alumno sabe los conceptos o no: en cuanto el resultado no coincide, todo el ejercicio está mal. esta tarde tengo clase precisamente con una niña que ha suspendido y que no iba mal preparada...
    besos y ya me contarás!

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  21. Hola Chema!
    Vengo a desearte unas Felices Fiestas y un año 2017 genial.
    Espero volver en unos meses.
    Muchos besos!

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  22. celia, gracias y felices fiestas a ti también! se nos harán largos esos meses sin ti, espero que sea para bien. besitos!!

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