miércoles, 21 de diciembre de 2016

contornos


por el título parece que voy a hablar de contorno de ojos o algo así. ;)

en la aventura el astropitufo, el protagonista levanta una valla para poder construir sin que le molesten la nave espacial con la que viajará a otros planetas. cada uno tiene sus hobbies... el área limitada por la valla del pitufo es cuadrada, o rectangular quizá. si hubiera querido abarcar la máxima área posible con el mismo perímetro -a efectos prácticos, el mismo número de listones de los que está formada la valla-, tendría que haberla construido de forma circular.

pero vayamos por partes. cuanto mayor es el número de lados de un polígono, para un mismo perímetro, mayor será su área. y vamos a demostrarlo. un polígono regular de n lados se puede desgajar en n triángulos isósceles. el área del polígono será la suma de las áreas de estos triángulos. el área de un triángulo es, como sabemos, el producto de la base por la altura dividido entre 2.


la base de cada triángulo es el lado del polígono, l. la altura a -también llamada apotema- no la conocemos, pero la podemos calcular relacionándola con la tangente del ángulo α opuesto a la base -para ser más exactos, la mitad de ese ángulo-. recordemos que en un triángulo rectángulo, la tangente del ángulo es igual al cociente del cateto opuesto entre el cateto contiguo.


vamos a hacer algunos arreglos en la fórmula que acabamos de obtener. el lado lo expresaremos como el perímetro dividido entre el número n de lados, y el ángulo como una vuelta completa (360º, es decir 2·π radianes) dividida también entre el número de lados.


por tanto, nuestra fórmula para el área de un polígono será A = p2/[4·n·tg(π/n)]. el numerador, p2, es constante ya que la comparación entre los polígonos de diferente número de lados la hacemos manteniendo constante el perímetro. en el denominador n aumenta, pero por otro lado tg(π/n) se hace cada vez más pequeño cuando más grande se hace n. el decrecimiento de la función tangente ‘puede más’, y por eso el denominador globalmente disminuye con n. si el denominador disminuye el cociente aumenta, y con eso queda demostrado que a mayor número de lados, mayor es el área de un polígono.


cuantos más lados tiene un polígono, más se aproxima a una circunferencia, más se ‘redondea’. por ello, podríamos decir que la línea cerrada que contiene el área máxima es la circunferencia. vamos a calcular el área encerrada dentro de una circunferencia, o dicho de otro modo, el área del círculo. para ello integramos infinitos ‘gajos’ de ángulo infinitesimal , que se asemejan a triángulos de base R·dα y altura R -siendo R el radio de la circunferencia-.


el área del círculo expresada en función del perímetro del que disponemos es p2/(4·π), mayor que la de cualquier polígono. en consecuencia, para cualquier acción que vaya desde construir un muro con una cantidad prefijada de materiales hasta sentarse en corro un número determinado de personas, para abarcar la máxima área posible, la forma ideal que debe adoptarse es la circular.

tras estas divagaciones, os deseo unas felices fiestas. no trabajéis demasiado... al menos no tanto como el pitufo, que sólo vive para construir su nave espacial. :P

17 comentarios:

  1. Chema , creo que yo hago igual que el astropitufo azzul y contruyo una vaya para que no vean la nave esoacial en la que me voy a otros planetas.

    Me encanta tu planeta Chema!!!

    Besos.!!
    Felices Fiestas!.
    Un abrazo

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  2. A veces creo que sólo disfruto en mi nave...

    No es trabajo.
    Besos.

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  3. Aaahh, qué interesante!! Me ha encantado este post! Lo he entendido todo y me ha descubierto algo que no sabía, quizá lo haya estudiado pero ya se me había olvidado. Y además con pitufos, que ya sabes que me encantan!!
    Tengo una pregunta para ti, ahora que pienso: creo recordar que un profesor mío dijo que en una casa con el mismo tamaño de ventana (rectangular), entraba más luz si las poníamos en vertical que si las poníamos en horizontal. Mi marido dice que es al revés (y él entiende!) pero quiero una segunda opinión (si es posible). Un beso

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  4. Feliz Navidad, amigo Chema.
    Que pases unos días muy agradables en la mejor compañía, familiares y amigos.

    Toda la magia en este abrazo.

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  5. Buena deducción. El círculo es una de las formas geométricas más perfectas que existen. Una esfera abarca más espacio que cualquier otra forma geométrica usando la misma cantidad de tablones. El Pitufo probablemente no sabía eso. También es verdad que es más fácil construir una valla de forma cuadrada que un círculo perfecto.
    Chema aprovecho la ocasión para desear que pases una Feliz Navidad, disfruta al máximo de todo lo bello que te ofrece la vida, ese sin dudas es el mejor regalo.

    Un besote inmenso con mi cariño y amistad!!

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  6. Miedo me da la que haya podido liar el astropitufo ahí dentro jajajajja

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  7. Pues una vez más me reafirmo, que bien me habrías venido cuando mis hijos iban a la ESO, que nos pegamos cada atragantón, jejeje. Yo me rompí un dedo explicándole a mi hija lo que era apotema(me puse explicarlo en una pizarra con mucho garbo, había una mochila en el suelo, no la vi, metí el pie en el asa y para no caer me apoyé en una pared y...qué dolor).
    Un besito y como siempre me ha encantado.
    Felices fiestas.

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  8. amapola, es verdad, los pitufos son azules como tú! ;) la nave espacial es el símbolo de un sueño. nunca hay que dejas de soñar...

    rosana, me alegra que te haya gustado! ;) tu marido pepe sin duda sabe de lo que habla. yo también intuyo que entra más luz si se pone horizontal, tal vez por la reflexión y refracción de cristal, que en horizontal expone más superficie...

    auroratris, felices fiestas para ti, guapa! que lo pases genial con toda tu familia y que descanses de tu labor docente.

    rosana, es curioso, todo lo que sean líneas rectas formando ángulos entre sí, es área perdida. la mayor área está dentro de la línea de mayor curvatura y simetría, que es la circunferencia. felices fiestas a ti también, guapa!!

    besos!!

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  9. geno, construía una astronave a pedales. y cuando explicaba el funcionamiento, papá pitufo le miraba alucinado, pero al mismo tiempo no quería decirle que eso no iba a funcionar en la vida para no decepcionarle... :O

    gemma, vaya accidente, al contarlo me ha dolido hasta a mí! cuando te caes, siempre es la mano o el brazo el que sale peor parado, por intentar frenarte para no hacerte daño. espero que la apotema no te despierte malos recuerdos! ;)

    eva, de hecho hace años tuve de imagen de perfil en facebook la imagen de la portada del album del astropitufo, que es de mis favoritos de la colección de los pitufos. felices fiestas! :*

    besos!!

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  10. Esta parte de las matemáticas es la que mejor se me daba cuando estudiaba. Los polígonos, prismas, y cosas así, tal vez porque se puede aplicar a la pintura y el dibujo, en la perspectiva y en la composición de escenas y figuras.
    Todo lo haces fácil, Chema, ya me hubiera gustado tenerte de profe.

    Felices fiestas :-)

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  11. Ainnsss chema, tu si que sabes bien explicar eres un buen profe, que falta me harías para mi hija con las mate, las ha suspendido y tendrá que estudiar en navidades, con ayuda, porque la recuperación la tiene al comienzo de clases.

    Feliz Navidad.

    Un beso.

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  12. disfruto tus letras
    feliz diciembre querida

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  13. Una explicación muy... científica. Yo pondría el círculo dentro y diría '¿lo ves? el exágono tiene mayor superficie' jejeje
    El otro día hice un examen psicotécnico y me acordé mucho de ti. Eran proeguntas de ese tipo pero no había que poner el proceso, sólo cual era mayor, a qué dirección giraría la cuerda, la trayectoria de una pelota que choca el techo, dónde había que hacer la fuerza para que subiese más y esas cosas... Con ese examen hubiese tenido para 40 entradas jejeje

    Felices fiestas!!!

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  14. ilona, bienvenida de nuevo! :) a los alumnos les suele gustar más la geometría, y a mí me divierte explicarla. en los temarios de matemáticas tendría que haber más geometría y menos temas aburridos tipo potencias y raíces, que los repiten hasta la saciedad. ^_^

    maría, como ya te dije, si tiene alguna duda escríbeme por facebook. hay quien desearía tener un profesor particular, mientras que quienes lo tienen no lo aprovechan. les repites una y otra vez cómo se hacen las cosas, y es predicar en el desierto...

    recomenzar, gracias y felices fiestas! me alegra que te guste mi blog. por cierto, una pequeña puntualización: soy un chico. ;)

    piruli, desde luego un examen de esos me daría muchas ideas para el blog! yo a mis alumnos a veces les digo "por favor, olvídate de que esto es un problema de la asignatura de matemáticas y trata de pensar con lógica, como si fuera una situación de la vida real!". es que como les saques de lo que es aplicar una fórmula, no hay manera...

    besos y felices fiestas!

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  15. Hola!!! tú como siempre con el cerebro a toda pastilla...jejeje...felices fiesta desde Nancy historias de siempre.
    Besossss y abrazos.

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  16. elanor, a veces me siento un poco rebelde, y en lugar de escribir reflexiones sobre la vida me apetece más escribir entradas de estas "cañeras". :D besos y feliz 2017!!

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