jueves, 12 de mayo de 2016

matrices inversas

últimamente me he estado acordando de los temas de matrices y determinantes -y su aplicación a los sistemas de ecuaciones- que dábamos en matemáticas de cou. ya escribí una entrada sobre matrices y sistemas hace tiempo... al parecer todo eso se sigue dando en el curso equivalente a cou, que es 2º de bachillerato.

me parece especialmente curioso lo de hallar la matriz inversa. por definición, la inversa de una matriz dada es aquella que al multiplicarla por dicha matriz nos da como resultado la matriz identidad -en la cual todos los elementos de la diagonal principal valen 1, y el resto valen 0-.

invertir una matriz, como digo me resulta curioso. es algo parecido a darle la vuelta a un calcetín. hablando de lo cual, qué calcetines tan chulos lleva la hija de esther. :P


me he inventado sobre la marcha una matriz de 3 filas y 3 columnas, sin prepararla para que los cálculos me den números redondos ni nada de eso. la llamaremos A. su matriz inversa (denotada como A–1), será igual a la matriz adjunta (A*, ahora explicaremos lo que es) traspuesta, dividida ente el determinante de la matriz A (expresado como |A|).


la matriz adjunta A* está formada por los determinantes de los adjuntos de cada uno de los elementos del matriz original. para cada elemento, su adjunto es la submatriz que queda cuando se eliminan en su totalidad la fila y la columna a las que pertenece dicho elemento. los determinantes de los adjuntos llevan signos alternos, como se observa.


a continuación hallaremos el valor de cada uno de esos determinantes, que como son de 2*2, será simplemente igual al producto de los elementos de su diagonal principal (↘) menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria (↙).


una vez hallada la matriz adjunta, obtenemos su traspuesta trasformando sus filas en columnas -o viceversa-.


el determinante de una matriz de 3*3 es un poco más lioso de explicar cómo se hace: sería la diferencia entre los productos tres a tres de los elementos de su diagonal principal (↘) y de los que forman un ‘triángulo’ con un lado paralelo a dicha diagonal, menos los análogos para la diagonal secundaria (↙).


ya tenemos lo que nos faltaba para calcular la matriz inversa. como dije, podía haber preparado la matriz original para que su determinante diera un número más bonito, pero así resulta más espontáneo. ;)


vamos a comprobar que está bien: multiplicamos entre sí las matrices A y A–1. recordemos que para multiplicar matrices, sumábamos con sus signos correspondientes los productos de los elementos de cada fila de la primera con los elementos de cada columna de la segunda. es por esto que para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda.

al multiplicar estas dos matrices obtenemos la matriz identidad, lo cual quiere decir que lo hemos hecho bien.


hay matrices que no se pueden invertir, y son aquellas cuyo determinante es nulo. hemos visto que para calcular la inversa había que dividir entre el determinante de la matriz original, y si es cero no se puede. las divisiones entre cero están prohibidas.

el determinante de una matriz es cero cuando:
  • una de sus filas o columnas está formada por ceros.
  • hay dos filas o columnas iguales.
  • una fila o columna es proporcional a otra.
  • una fila o columna es igual a la suma, resta o cualquier combinación de otras filas o columnas.

todos estos casos se podrían resumir en el último de ellos, ya que los casos de filas/columnas de ceros o de filas/columnas iguales o proporcionales son en realidad casos particulares de combinación lineal entre filas/columnas.


resulta interesante que una matriz, no siendo nula -es decir, teniendo elementos distintos de cero-, pueda tener cierta ‘nulidad interna’. es como si sólo contara tener filas o columnas independientes unas de otras. no vale tener filas de ceros que no aportan nada, no vale que una fila sea una repetición o variación de otra, y no vale crear otra fila que sea una combinación de las ya existentes.

algún día me gustaría escribir un libro sobre filosofía matemática, relacionando las leyes numéricas con la vida real. si no fuera por lo difícil que sería encontrar una editorial que estuviera interesada... ^_^

hablando de libros, la idea de esta entrada me vino a raíz de un regalo de mi amiga geno: el lenguaje secreto de los números. tengo muchas publicaciones de national geographic en casa, son muy interesantes.


en un capítulo de este libro hablaban de un método para codificar mensajes que consistía en multiplicar el vector de cifras numéricas asignadas a las letras del mensaje original por una matriz. y para descodificar el mensaje, había que multiplicar su vector asociado por la inversa de la matriz de codificación.

así se me despertó la curiosidad por estos temas que estudié hace tanto tiempo, en matemáticas de cou y también en la asignatura de álgebra de 1º de carrera. como soy bastante friki, para recordar cómo se invertían matrices y todo eso, me hice los ejercicios de ese tema que vienen en la web vitutor.com. es lo que hago cuando tengo que explicar a alguno de mis alumn@s un tema difícil.

hacer problemas de matemáticas me transporta al pasado, como podéis imaginar, y hace que acudan a mi mente muchos recuerdos de cuándo estudiaba esos temas. se asemeja a una terapia freudiana en el sentido de que evoca numerosos recuerdos olvidados. por eso, hasta que mi amiga anacris termine la carrera de psicología y pueda acudir a su consulta, de momento tendré que conformarme con ponerme a hacer problemas de mates y dejar que mi memoria haga el resto. ;)

por último, para explicar mejor cómo se calcula un determinante de 3*3, aquí os dejo los pasatiempos de un número del año pasado de la revista digital foroesther -enlazada también en el margen izquierdo del blog-. no sé quién es el flipado que se encarga de esa sección de la revista. :P

21 comentarios:

  1. Hola Chema!!!!!
    Pues yo te animo a que escribas el libro. No sé si habrá editoriales interesadas pero todo es mirar, puedes mirar qué editoriales han publicado todos los libros que veas de números y mates y mandarles una carta de presentación. A mí me parece muy interesante y seguro que tendrías éxito.
    Un besito y me ha encantado el post, me has recordado las matrices, ainnnns, qué tiempos.

    ResponderEliminar
  2. Yo ni me acuerdo de esto. Debo haberlo estudiado pero se ve que no les hice mucho caso. Jajajaja.
    Me uno a la moción de Gema. Deberías intentarlo con lo del libro, que de libros de autoayuda ya estamos muy saturados así que, ¿por qué no poner de moda las matemáticas?

    Besotes!!!!

    ResponderEliminar
  3. gema, desde luego otra cosa no, pero el estilo de redacción de los libros científicos lo llevo "mamando" más de media vida, jejeje. en la sección de ciencias de librerías grandes como la casa del libro tienen maravillas, es mejor no acercarme mucho para no caer en tentaciones. ya me compré dos libracos de física hace cosa de un mes y medio.

    álter, esto se daba en cou. recuerdo que lo que llamaban 'matemáticas ii', que eran las mates de la opción de ciencias sociales (letras mixtas como si dijéramos) se diferenciaban en que se daba estadística en lugar de geometría del espacio. en cuanto a los libros divulgativos de matemáticas, mejor que los de paulo coelho ya son. ;)

    besos!!

    ResponderEliminar
  4. Podrás venir a mi consulta siempre que quieras, pero la mejor forma de evocar el pasado es precisamente esta, haciendo cosas que te transportan a entonces. También te digo que el pasado hay que rememorarlo muy de vez en cuando, pero no hacer de ello una costumbre o te perderás el presente que es lo realmente importante.
    Con respecto a todo esto que ha explicado en la entrada, me ha sonado a Chino en una primera lectura (lo que siempre me ha pasado con las mates) pero luego releyendo y dándole sentido, la verdad es que lo he pillado bastante bien, tienes que ser un profesor espectacular. Que pena haberte encontrado después de haber acabado las asignaturas de Estadística que he tenido en la carrera, me hubieras venido estupendo ;-) Deberías plantearte hacerte Vlogger como dice Eva. Hay cantidad de padres que se enfrentan a las mates olvidadas para ayudar a sus hijos y un tutorial de los tuyos les vendrían de perlas.
    Eres un crack!
    Mil besos

    ResponderEliminar
  5. Me alegro que el libro te gustara. Ya sabes que yo de mates entiendo más bien poco pero me pareció que podía ser interesante. Y en cuanto al que te apetece escribir, el primer paso es hacerlo, lo de la editorial ya vendrá después y ¡quien sabe!

    ResponderEliminar
  6. Me pierdo en tantos números...
    Besos. Y buen finde.
    :)

    ResponderEliminar
  7. Uff, yo es que me pasé a letras puras muy pronto, librándome de estos quebraderos de cabeza, que para mí se equiparan a un castigo de los gordos.

    Besos, sol

    ResponderEliminar
  8. Gracias Chema siempre es un placer recibirte
    Tu entrada como siempre super original e interesante...muy tuya,me ha hecho ilusión recordar las matrices...había olvidado que existían!!!!!
    Un Beso

    ResponderEliminar
  9. Tendrías que haber preguntado quien se ha leído de cabo a rabo esta entrada y ha mirado las fotos y que contestasen con sinceridad jajaja
    A mí sí que me has transportado a mi juventud empírica y del científico técnico... ¡Que recuerdos! Yo adoraba las matrices pero ahora todo me suena a chino mandarín aunque creo que si haría una esfuerzo sería capaz de ponerme al día. Lo que no recuerdo para anda era qué utilidad tenían.
    besos

    ResponderEliminar
  10. ana, eso es verdad, a veces pienso demasiado en el pasado, jeje. pero me parece curioso recordar cosas que tenía totalmente arrinconadas en mi memoria y verlas con otra perspectiva. la estadística conmigo la aprenderías bien, más que nada porque es de los temas que más veces he tenido que explicar a los alummnos, y ya me sé todos los trucos y los ejemplos chorras para que se entiendan bien los conceptos. ;)

    geno, hablaba de cosas muy interesantes en ese libro, como las matrices, el código binario y hexadecimal, teoremas sobre los restos de las divisiones... tú ya sabes lo que es ser publicada, porque hay relatos tuyos en los libros de albanta! ;)

    amapola, es normal, esta entrada es muy densa, jeje. no sé cómo podía entender todo esto cuando era tan jovencillo.

    besos!!

    ResponderEliminar
  11. eva, hiciste muy bien. en bachillerato se dan unos temas en matemáticas que para alguien a quien lo le gusten mucho las mates, tienen que ser insufribles. el año pasado le di clases a un chico de 1º de bachillerato, y yo le decía: si para la carrera que vas a hacer no se necesitan matemáticas, el año que viene vete a la opción de humanidades y no te compliques más la vida.

    princesa, yo las matrices también las tenía muy arrinconadas en mi memoria. de algunas cosas me acordaba pero de otras no. lástima que ya no tenga el librito de exámenes resueltos de selectividad que tuve en su día, lo presté y ya no lo volví a ver.

    piruli, desde que abrí este blog en 2009 llevo escribiendo entradas de este tipo, así que la posibilidad de que la gente las lea en diagonal ya la tengo contemplada y asumida. ;) recuerdo que en física había una matriz que se llamaba 'tensor de inercia', que era como el momento de inercia de un cuerpo, pero generalizado a todas las direcciones. y en programación y bases de datos también tengo entendido que se usan matrices, pero la informática ya no es mi campo...

    besos!!

    ResponderEliminar
  12. Si escribir ese libro es tu sueño... ánimo Chema!!! no desistas en el empeño. Las matemáticas se me daban bien... pero ya no recuerdo ni la mitad de las cosas, ainsss.
    Tienes facilidad para esto... se nota que estás en tu elemento.

    Mil besitos.

    ResponderEliminar
  13. A mi siempre se me dieron mal las matemáticas, ya ves que lo digo siempre. Y viendo estas entradas pienso en lo distinta que hubiera sido mi vida teniéndote de profe. Pero vamos que no volvería. Empecé a cogerles el gusto en cuarto de la ESO y en bachiller hice las aplicadas a Sociales, pero siempre fui de letras, lo tengo claro.
    De todas maneras te animo a lo del libro, nunca se sabe por donde nos puede venir la suerte.
    Un besote Chema!

    ResponderEliminar
  14. Pues me encantaría ver un libro tuyo publicado. Me encantaba hacer matrices en COU y en 1º de carrera!! jijiji
    P.D. Los calcetines de Esther también me han gustado. Como vea unos así me los compro!! y encima a juego con su chaleco!!

    ResponderEliminar
  15. auroratris, eso y ser profesor en un colegio son mis sueños, jeje. cuando paso delante de un colegio, tengo una sensación de "cómo me gustaría ser parte de esto". la verdad es que lucho poco por mis sueños, tengo que hacer un esfuerzo y ser menos vago. :)

    verdades, a mis alumnos les pongo problemas inventados por mí con enunciados protagonizados por ellos. a ti te pondría un problema como éste, por ejemplo: "lópez va de viaje a santiago. si se encuentra en la plaza del obradoiro y la luz del sol incide con un ángulo de 30º, y sabiendo que la estatura de ella es (...), calcular la longitud de su sombra". se haría con el teorema de pitágoras. ;)

    isa, es verdad, los calcetines hacen juego con el chalequito que lleva, no me había dado cuenta! has sido más observadora que yo. ;) las matemáticas en el fondo son una especie de filosofía, pero con números y símbolos.

    besos!!

    ResponderEliminar
  16. Uyyy, !què recuerdos! ya no me acordaba de esto... Son cosas que no he vuelto a tocar. Pero recuerdo que me encantaba..
    Feliz semana

    ResponderEliminar
  17. Yo esto nunca lo llegué a dar... bondades del sistema educativo, siendo de ciencias de la salud y no saber ni lo que son las matrices... ahora lo echo en falta para dar clases particulares a determinados niveles.
    Besos!

    ResponderEliminar
  18. Buff Chema, no quiero oir hablar de matrices desde que hice la asignatura de Metodología Juridica en mi carrera de Derecho. Lo pasé fatal, era una asignatura en la que teníamos que hacer (entre otras cosas) matrices de los sistemas normativos. No eran muy difíciles, pero yo que soy de letras lo pasé fatal. A pesar de ser una optativa fue para mí de las más difíciles de la carrera...

    ResponderEliminar
  19. lucía, yo es que a las cosas que daba en matemáticas y en física les daba muchas vueltas en mi cabeza, no paraba hasta encontrarles la lógica, y por eso me acuerdo de bastantes cosas. aun así, menos de las que me gustaría.

    ali, no te preocupes, en cualquier página web con ejercicios de matemáticas, como la de vitutor, te puedes enterar de qué va esto para poder explicarlo. a la vista de los resultados de mis alumnos, soy mejor profesor de física y química que de matemáticas, aunque de lo segundo es de lo que sé más en teoría...

    maría, supongo que el derecho a veces tiene incursiones en contabilidad y otros temas de números. si llevabas mucho tiempo sin dar matemáticas, quizá por eso se te hizo duro. aun así, creo que es mejor que si no te gustan las mates vayas por letras en el bachillerato, porque si no lo pasas mal.

    besos!!

    ResponderEliminar
  20. ¿Y por qué no te animas a escribir el libro? de esta forma verías cumplido uno de tus proyectos, y eso estaría genial.

    En cuanto a los números me dejas alucinada de ver lo bien que se te da todo esto, es que lo vives, y a mí, en cambio, cuanso se trata de número me estresa un poco, es que nunca me han gustado las matemáticas.

    Un beso.

    ResponderEliminar
  21. maría, es verdad! escribir un libro, tener un hijo y plantar un árbol, jeje. a mis alumnos me gustaría poder contarles más curiosidades, pero el tiempo apremia y hay que ceñirse a lo que les ponen en los exámenes.
    besos!!

    ResponderEliminar