viernes, 1 de mayo de 2015

dibujando...

en el suelo del portal de mi casa hay una figura octogonal que siempre me quedo mirando cuando nos paramos allí a hablar con alguien, por ejemplo...

se trata de un octógono ‘insertado’ en un enlosado de baldosas cuadradas. sus dimensiones son tales que la apotema del octógono -distancia desde el centro hasta el punto medio de cualquiera de sus lados- es igual al lado del cuadrado.


mi idea era dibujar una base cuadriculada, y sobre ella ‘incrustar’ el octógono. posiblemente la mejor manera de dibujar un polígono de ocho lados es trazar una circunferencia, sobre ella trazar dos diámetros perpendiculares y sus bisectrices, y unir con líneas rectas los extremos contiguos entre sí de los cuatro diámetros.

necesitamos saber cuál debe ser el radio de la circunferencia circunscrita para que el octógono tenga la apotema que queramos. el ángulo interior del octógono es igual al ángulo completo dividido entre ocho: 360º/8 = 45º. el radio de la circunferencia y la apotema formarán la mitad de ese ángulo: 45º/2 = 22.5º.

la apotema es la proyección horizontal del radio. haciendo uso de las razones trigonométricas, diríamos que a = R·cos(22.5). por tanto, despejando, R = a/cos(22.5).


el coseno de 45º es bien conocido: √2/2. recordando la fórmula para calcular el coseno del ‘ángulo mitad’, y haciendo algunas operaciones, obtenemos que el coseno de 22.5º es [√(2+√2)]/2. como esa expresión va a estar dividiendo, calculamos su inverso, que tras operarlo un poco para que tenga la forma que nos va a interesar, resulta ser 2·√[(1/2)·(2–√2)].


esa cifra que parece tan enrevesada, se puede calcular gráficamente, con tan sólo escuadra, cartabón y compás, y sin realizar ninguna medición. la distancia que buscamos es el doble de la media geométrica de 1/2 y 2–√2. tomando como unidad un lado de la longitud que queramos -que será el lado de nuestra cuadrícula base-, 1/2 de la misma no es otra cosa que su mitad, que se obtiene trazando su mediatriz; y 2–√2 es el doble menos la diagonal de un cuadrado que tenga ese lado.

trazamos sobre una línea horizontal las fracciones 1/2 y 2–√2 de nuestro lado base, delimitando bien dónde acaba una y empieza otra. a continuación, trazamos una semicircunferencia cuyo diámetro coincida con los dos segmentos alineados. hecho esto, desde el punto de separación de los dos segmentos trazamos una línea perpendicular a los mismos. la media geométrica será la distancia desde ese punto de partida hasta donde la línea vertical corte al arco de circunferencia.

lo más difícil ya está hecho. como lo que necesitamos es el doble de la media geométrica, prolongamos esa línea vertical y desde donde termina la distancia buscada llevamos con el compás esa misma distancia, obteniendo así el doble de ella.


ya podemos dibujar nuestro octógono insertado sobre la base cuadriculada. con centro en el punto medio de lado común de dos cuadrados contiguos -para reproducirlo tal como es en el enlosado original en que me he basado-, trazamos una circunferencia cuyo radio es la distancia que acabamos de calcular. dibujamos el octógono por el procedimiento de trazar diámetros perpendiculares y sus bisectrices. y lo hemos hecho bien, ya que encaja exactamente entre dos filas de cuadrados.


pasamos a rotulador las líneas divisorias de las baldosas y borramos las líneas auxiliares. el reborde lo coloreamos un poco. es algo más grueso que el original en proporción, pero es que lo hice anoche sin tener la foto delante. hoy que es fiesta y no pasaba nadie por el portal he podido hacer la foto. ^_^


esta mañana, que he madrugado porque me he despertado y no tenía más sueño, he hecho otro dibujo que tenía en mente. esta vez es de otro estilo muy distinto: es un retrato de una alumna mía. el único instrumento que he utilizado es un portaminas.

se lo llevaré el lunes. cuanto más deprisa los hago, mejor me salen. cuando ya está más o menos aceptable y tengo la sensación de que si lo retoco más lo fastidiaré, entonces paro.

17 comentarios:

  1. Hola. seguro que a tu alumna le hace ilusión porque te quedó un retrato fabuloso y tan sólo utilizaste el portaminas. Con respecto al octógono inspirado en el del portal de tu casa también te quedó perfecto. Recuerdo que dibujé muchas figuras geométricas en la asignatura de dibujo lineal... ya no me acuerdo de nada pero era interante todo lo que aprendíamos. Seguimos en contacto

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  2. ¿¿¿Dibujaste ese retrato con portaminas??? ¡Alucino! Vaya mano que tienes, Chema de mi vida.

    Besos

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  3. Pues sí que se te da bien dibujar, chema, me han encantado tus dibujos.te felicito por ellos, además, cuando vea tu alumna su retrato seguro la encantará, vaya suerte tener un profesor como tú, cuánto hubiera dado por tenerte a ti de profesor en mis tiempos de estudiante.

    Un beso.

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  4. marta, es una alumna muy buena, y toda la familia se porta muy bien. en dos ocasiones me han regalado libros. el dibujo geométrico ja jugado un papel muy importante en mi vida. en cou elegí biología porque me daba miedo el dibujo técnico, pero después de un trimestre me arrepentí y me cambié, y el dibujo me acabó encantando.

    eva, a veces empiezo con el portaminas, y si veo que necesita un trazo más grueso y más pastoso, paso al lápiz. pero si sólo con el portaminas está saliendo bien, pues con él sigo hasta el final, jeje.

    maría, en realidad mis retratos son muy limitados, jeje. no tienen sombras, es algo que no he sido capaz de aprender a hacer. y para hacerlas mal, prefiero hacer un dibujo más plano. dibujar para mí es un experimento, como cuando un músico toca tres notas con un instrumento que no es el suyo. ;)

    besos!!

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  5. Bonitos dibujos, te estás convirtiendo en todo un retratista ¿eh?

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  6. Chema, sí que has estado trabajador con el lápiz.. Seguro que le encanta tu retrato..
    Feliz domingo

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  7. Hola guapa,
    he encontrado tu blog y me encanta muchoooooooooo.Felicitaciones ,besitos.

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  8. geno, se hace lo que se puede, jeje. empecé a hacerlos en la época de poco después de acabar la carrera, entre 2005 y 2007 más o menos. luego esa faceta la tuve un poco dormida, y ahora estoy volviendo a ello.

    lucía, sí, yo creo que le gustará, aunque sea por el detalle. mañana la tendré haciendo ejercicios una hora y media mínimo, y sólo al final de la clase se lo daré, jeje.

    duendes, bienvenida!! pero debo aclarar que soy un chico. ;) me alegra que visite mi blog una chica brasileña!

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  9. El retrato es precioso. Menudo arte tienes.

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  10. Hala Chema, otra faceta tuya que desconocía! Te ha quedado muy bien, la vas a dejar patidifusa!!
    Y además he aprendido a hacer octógonos, no tenía ni idea de que se hacían así y parecen muy fáciles. Yupi, yupi!!! Me siento tremedamente sabia ahorita!!!
    Besos

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  11. marta, gracias!! estos retratos que hago, para las chicas retratadas en cuestión, tendrán más que nada valor sentimental por el hecho de que se lo haya dibujado un amigo dedicando su tiempo a ello, jeje.

    rosana, sí que le gustó. y me dijo "me has dibujado más guapa que como soy, no me has pintado los granos!". jeje, pues claro que no, ni lo había pensado. muchos adolescentes tienen un poco de acné, eso es normal. lo ha puesto en el corcho de su habitación. en cuanto a los dibujos geométricos, se pueden trazar polígonos cuyo número de lados sea una potencia de 2 (4, 8, 16, 32...) a base de trazar las bisectrices de los diámetros en la circunferencia circunscrita.

    besos!!

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  12. Esa baldosa es bien rara, parece que la hayan metido ahí con calzador, y eso que podría haber quedado bien bonita.
    Te mando un beso de ánimo, no hay nada que se pueda decir en estos momentos.

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  13. Nada nuevo hay, pero te dejo mis saludos, deseándote un muy feliz fin de semana, chema.

    Un beso.

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  14. El retrato es genial, Chema. Siempre me ha parecido que pintar rostros es una de las cosas más dificiles en la pintura y tú lo has hecho muy bien. Enhorabuena. En cuanto a la figura del portal, si vinieras por aquí estarías alerta todo el rato, jajajaja... Es muy normal tener figuras así en los edificios. Asi que ánimo y haznos una visita. Besitos.

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  15. ses, lo que pienso es que encareció los costes, porque hubo que pulir un gran bloque de mármol dándole forma octogonal, y las baldosas cuadradas de alrededor para encajarla. pero bueno, como es una obra que dura muchos años... está así como mínimo desde que nací. besos y gracias!!

    maría, a ver si esta noche me da tiempo a escribir una cosa que se me ha ocurrido. gracias por pasarte, besitos!!

    merchi, en los primeros que hacía a veces no lograba que el retrato se pareciera a la persona real, y era un poco frustrante. poco a poco lo fui haciendo mejor. los contornos principales de los ojos, nariz y boca, al principio con mucho cuidado, y luego dándole trazados superpuestos de lápiz de forma más libre. sí que me gustaría ir a hacerte una visita y que nos tomáramos algo, todo se andará! ;) besitos!!

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  16. Me encanta tus esplicaciones sobre esa figura Octogonal de tu casa, pues lo esplicas muy bien, sobre el dibujo, es una PRECIOSIDAD, tea quedado genial, eres un Artista, besitos.

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  17. bertha, el retrato lo tiene puesto en el tablón de su habitación, jeje. en cuanto a las figuras geométricas, lo que más me está costando como profe es enseñar a los niñ@s a usar la escuadra y el cartabón. pero bueno, con un poco de práctica lo harán mejor.
    besos!

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