sábado, 11 de abril de 2015

diagonales


el otro día, en una clase de matemáticas con una alumna de 1º de eso, surgió el tema de cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de un número de lados determinado.

si se entiende por diagonal una línea que una dos vértices no consecutivos, está claro que un triángulo no tiene diagonales. de los tres vértices que tiene, da igual cómo escojas dos de ellos, que siempre serán contiguos entre sí.


veamos lo que sucede con el cuadrado. las posibles combinaciones de dos en dos de sus vértices son:
1-2, 1-3, 1-4,
2-3, 2-4,
3-4.
fijaos que son en total 1+2+3 = 6 combinaciones. pero de ellas tendremos que descartar:
1-2, 2-3, 3-4, 4-1, que son las de vértices consecutivos. (ponemos 4-1 en vez de 1-4, para que se vea más claro)
por tanto, el cuadrado tendrá 6–4 = 2 diagonales.


pasamos ahora al pentágono. hacemos lo mismo que antes: enumeramos las posibles parejas de vértices:
1-2, 1-3, 1-4, 1-5,
2-3, 2-4, 2-5,
3-4, 3-5,
4-5.
en total son 1+2+3+4 = 10 combinaciones. pero no nos valen las de vértices consecutivos:
1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-1. habrá, por tanto, 10–5 = 5 diagonales.


y qué ocurrirá con el hexágono? veamos cómo se pueden emparejar sus vértices:
1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6,
2-3, 2-4, 2-5, 2-6,
3-4, 3-5, 3-6,
4-5, 4-6,
5-6.
suman en total 1+2+3+4+5 = 15 combinaciones. restaremos las de vértices contiguos:
1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-1. con lo cual, serán 15–6 = 9 diagonales.


vamos a intentar encontrar una fórmula general para hallar el número de diagonales de un polígono en función del número de lados.

nos damos cuenta de que, en los casos que hemos analizado, el número de posibles combinaciones de dos en dos de los vértices se calculaba siempre mediante una suma como ésta:
1+2+3+...n–1, siendo n el número de lados.
y esa suma se puede expresar como (n–1)·n/2.

por otro lado, las combinaciones de vértices consecutivos son siempre n.

así pues, la expresión general del número de diagonales será:
(n–1)·n/2–n. vamos a sacar factor común n:
n·[(n–1)/2–1], que operando queda así: n·(n–3)/2.

veamos si se cumple para los casos que ya conocemos:
triángulo: 3·(3–3)/2 = 0
cuadrado: 4·(4–3)/2 = 2
pentágono: 5·(5–3)/2 = 5
hexágono: 6·(6–3)/2 = 9
...

pues parece que funciona! para terminar, aquí tenemos al ‘malo’ de la aventura “el supergrupo” de superlópez. había dibujado en el suelo una estrella pentagonal, que está formada por las diagonales de un pentágono. su objetivo era realizar un conjuro mágico...

este malvado personaje tenía el rostro negro como la tinta, sin nariz, llevaba siempre una especie de traje de astronauta y fumaba puros. nunca supe si era un humano, un extraterrestre o qué demonios era.

17 comentarios:

  1. Qué risa Súper López, no me acordaba de él xDDD

    Chema de mi vida, es que me dejas loca con tus símiles jajaja estás hecho un artista de las comparaciones. ¡Qué coco tienes!

    Besos mil

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  2. Gracias Chema por tus enseñanzas y tu fidelidad a mi blog
    Tú si que sabes resolver problemas!!!!!!!
    Un Abrazo

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  3. Llevo un buen rato leyendo esta entrada, y la verdad es que tus enseñanzas me sirven para meditar, aunque sea entre diagonales, lo que puede suceder con el cuadrado, con el pentágono, me he ido fijando en cada imagen, y después en los números que esos son los que más me cuestan entender jajaja pero al final he visto las posibles combinaciones que has hecho, y todo ello me hace refrescar la memoria, me viene bien, entrar en tu blog, aunque sea a estas horas de la noche,
    espero no soñar fórmulas ni diagonales jajaajaj, ya te contaré porque ya me voy a dormir.

    ¿Y qué será? parece un monstruo con cuernos.

    Buenas noches, Chema.

    Un beso.

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  4. !què graciosa la viñeta relacionada con las diagonales! lo tuyo es trabajo de investigación Chema, no hay duda... buscar en los comics temas relacionados con las mates, la física, lleva su trabajo, desde luego
    Feliz domingo

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  5. eva, lo de las diagonales nunca me había parado a pensar mucho en ello. ya de por sí era un buen tema para una entrada, pero además me acordé de esa viñeta. y ya se sabe, tema de matemáticas + viñeta relacionada = entrada nueva! :D

    princesa, tú sí que eres una buena maestra, estoy convencido. con los años tengo menos energía para estudiar, pero más intuición para ver las cosas al vuelo...

    maría, pensaba que se necesitaban fórmulas de combinatoria, que no las recuerdo muy bien y habría tenido que consultarlas. pero al final no hicieron falta. espero que esta noche hayas tenido sueños románticos, que son los que molan. ;) ese misterioso personaje no tenía ni siquiera nombre, superlópez y sus compañeros le llamaban 'nuestro enemigo', sin más.

    lucía, la verdad es que me vino a la mente sin tener que rebuscar entre los comics que tengo. porque esa historia de superlópez, al ser de las primeras, la leí por primera vez de pequeño y la he releído decenas de veces desde entonces. la tengo muy interiorizada, jeje.

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  6. Me encanta como le sacas a todo su lado matemático!! ^_^

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  7. Hola. me acuerdo del super lópez y los tebeos de mi infancia...la verdad es que me leía todo lo que caía en mis manos... Las diagonales son un 'mundo' apasionante porque están presentes en muchas facetas de nuestra vida cotidiana... estoy segura que tus alumnos aprenden mucho con tus clases porque eres muy creativo buscando ejemplos... Y eso que las mates eran siempre una asignatura gris y oscura para mí... seguimos en contacto

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  8. Esta teoría la he entendido del todo!!! Bieeeeen!!! Y además me ha gustado lo de las diagonales!
    En cuanto a superrarito negro con cuerpo de lata, no lo conocía, pero como siempre me ha encantado que unas matemáticas y comics!
    Besos

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  9. Siempre logras refrescarnos nuestros conocimientos olvidados de matemáticas (que siempre va bien) de una manera amena y práctica.
    ¡Feliz tarde de domingo!

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  10. isa, claro, es que todo tiene lado matemático! si el malo no hubiera dibujado una estrella pentagonal bien hecha, no habría podido invocar a los demonios! lo cual habría sido mejor para él, pero eso ya es otra historia. ;)

    marta, una diagonal es siempre un atajo entre dos puntos unidos por líneas que forman ángulos entre sí. es el camino más directo. intento ser creativo, y cuando quedan pocos de clase me invento problemas que una alumna mía dice que son como cuentos, jeje.

    rosana, me alegro de que hayas entendido bien esta entrada!! :) he intentado explicarlo de forma lógica, y las combinaciones de vértices las he puesto en forma escalonada para que se vea la pauta que siguen. ese supermalo sólo salió en dos historias, pero habría dado juego para más...

    gen, a mí me obligan de vez en cuando a refrescar los conocimientos. desde hace poco tengo un alumno de 1º de bachillerato, y en esos últimos cursos sí que dan cosas cañeras. ahí sí que me tengo que preparar las clases! me alegra que te haya gustado. :)

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  11. Tal y como explicas los temas, coincido con tu alumna, que son como cuentos.. dá gusto tener un profesor tan creativo y con tantos recursos para atraer la atención e interés de los estudiantes!

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  12. Tus alumnos son el futuro, a mí nunca me surgen preguntas como esas. Lo cierto es que con un profe como tú, no me sorprende.

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  13. marta, con una niña de 2º de eso el otro día tuve una clase de repaso de una hora y media que fue enteramente de problemas inventados por mí, con los enunciados protagonizados por ella, jeje.

    ses, a veces tengo que aguantar la tentación de contarles curiosidades y casos particulares raros que van más allá de lo que ellos tienen que saberse. quizá para los últimos minutos de una clase en la que hayamos terminado todas las tareas y nos sobre tiempo...

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  14. Eres y serás nuestro profe favorito!!!
    Besosssss y abrazos.

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  15. Madre mía las diagonales, menudos recuerdos de cuando estaba estudiando la oposición, cuanto dibujo técnico, si te hubiera conocido entonces, te hubiera bombardeado a preguntas jejeje.
    Un besazo

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  16. Hola Chema
    Cada vez que entro en tu blog me sorprendes con tus magistrales explicaciones... la fórmula para sacar las diagonales es estupenda, qué suerte tienen tus alumnos!!!!
    Y a ese monstruo no lo conocía, pero no me ha gustado demasiado,jajaja.
    Besos

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  17. hermanas arien y elanor, gracias!! :) hace un momento estaba preparando una clase de 1º de bachillerato que tengo mañana, y esta tarde tengo clase con dos hermanos más pequeños. es un no parar!

    queca, y a mí me habría encantado responderlas! :) lo que me gusta es el dibujo geométrico, que se basa en la lógica y en la visión espacial. es como matemáticas pero con otro enfoque. en cambio no me gustaba mucho la acotación de piezas, que tenía mucha normativa, mucho convencionalismo arbitrario...

    maripi, las clases me dan muchas ideas para el blog, jeje. y a su vez preparar las entradas de mi blog me sirve de ensayo para las clases. en las clases hay que hacerlo todo más rápido e improvisado, pero aun así se agradece tener práctica. ese personaje malo, de pequeño no me paraba mucho a analizarlo, pero ahora de mayor lo veo, y menudo engendro. :D

    besos a todas!!

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