sábado, 24 de enero de 2015

más parábolas


sí, es que ya escribí una entrada sobre parábolas, desde el punto de vista físico...

una parábola es la curva formada por los puntos equidistantes de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.

la ecuación general de una parábola en el sistema de coordenadas cartesianas es:
y = ax2+bx+c

el coeficiente a es el que determina la forma de la parábola:
- si a es grande en valor absoluto, la parábola será más cerrada. si a es pequeño, será más abierta.
- si a es positivo, la parábola tendrá las ramas hacia arriba. si a es negativo, tendrá las ramas hacia abajo.

por otro lado, b y c nos informan de la posición de la parábola en los ejes de coordenadas. vamos a calcular la posición del foco y de la directriz de una parábola dependiendo de su coeficiente de segundo grado, que como decimos es el que define su forma.

para ello nos será más sencillo trabajar con una parábola cuyo vértice esté situado en el origen de coordenadas:
y = ax2


un punto cualquiera de la parábola -llamémoslo P-, estará definido por sus coordenadas (x, y), es decir, (x, ax2).

el foco F estará situado sobre el eje vertical, y su distancia al origen será f, cuyo valor queremos calcular. las coordenadas del foco serán (0, f).

y la recta directriz r será paralela al eje horizontal, a una distancia f  por debajo del mismo.

hay dos distancias que necesitamos: desde el punto genérico P hasta el foco F, y desde el punto P hasta la directriz r.

la distancia entre P y F la hallamos por el teorema de pitágoras, restándole a las coordenadas de un punto las coordenadas del otro, y calculando la raíz de la suma de los cuadrados de esas diferencias.

la distancia entre P y r es más sencilla de obtener: simplemente la suma de la coordenada vertical del punto y la distancia f a la que se encuentra la directriz del eje vertical.

igualamos esas dos distancias, y haciendo algunos cálculos obtenemos el valor f = 1/4a.


f es inversamente proporcional al coeficiente de 2º grado a. esto quiere decir que:
- cuanto mayor sea a -parábola más cerrada-, menor será f: más cerca del vértice se encontrarán el foco y la directriz.
- cuanto menor sea a -parábola más abierta-, mayor será f: más lejos del vértice estarán el foco y la directriz.

visualmente, me lo imagino así: si la parábola fuera una barra flexible, al doblarla se acercarían el foco y la directriz, y al enderezarla se alejarían.

esto me recuerda a un relato de sherlock holmes en el que un individuo se presenta en su consulta con objeto de amenazarle para que no investigue un caso que le acaban de encomendar. este sujeto agarra un atizador de chimenea y lo dobla para hacer una exhibición de su fuerza. pero cuando se marcha sin haber logrado intimidar a holmes, éste lo endereza sin gran dificultad, demostrando poseer la misma fuerza física. y es que se necesita la misma energía para doblar una barra de hierro que para desdoblarla...

12 comentarios:

  1. A mi me gustaban tanto en mate dónde había que hacer cálculos sobre ellas como en dibujo técnico cuando tenías que dibujarlas... En fin, ... no he vuelto a hacer ninguna, no sé si me acordaría.
    Feliz domingo

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  2. Hola. Chema: no te lo vas a creer pero no me acuerdo nada de nada de las parábolas y por supuesto que las debí de estudiar... un buen ejemplo con el relato de Sherlock Holmes. Seguimos en contacto

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  3. Jejeje, muy bueno lo de Sherlock

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  4. Que curiosas las parábolas, me gustaba estudiar esas cosas que luego puedes plasmar dibujando :)
    Un beso

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  5. lucía, en dibujo técnico tuvimos que hacer alguna que otra. supongo que se se harán trazando arcos de circunferencia del mismo radio desde el foco y desde la directriz, y donde se vayan cortando están los puntos de la parábola.

    marta, en realidad en matemáticas se estudiaban las funciones de 2º grado, pero no se incidía mucho en el aspecto de tener forma de parábola. de hecho, lo de calcular dónde están la directriz y el foco no recuerdo que nunca se haya hecho en matemáticas del colegio ni de la carrera, y por eso me hacía ilusión hacerlo yo. ^_^

    geno, ese relato es 'la banda de lunares', que por cierto, el propio arthur conan doyle lo consideraba el mejor. la escena en la que el tío ese va en plan amenazante y holmes se cachondea de él es divertidísima. :D

    queca, verdad que sí? dibujas una de esas curvas trazando varios puntos, y sin necesidad de ser muy habilidoso para el dibujo te quedan muy bonitas. :) un día haré una entrada sobre cómo trazr una parábola como se hace en dibujo técnico.

    besos!!

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  6. Boquiabierta me he vuelto a quedar. Tú sacas comparaciones como el que hace churros, ¡qué maravilla de asociaciones! Loca me dejas :)

    Besos, corazón

    37+1

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  7. eva, las mates me gusta siempre visualizarlas de alguna manera, jeje. y últimamente, cuando se me ocurre relacionar algún tema de matemáticas con cualquier otra cosa de la vida real, o de una lectura en este caso, ya tengo tema para una entrada, y me digo a mí mismo que ya estoy tardando en escribirla. :D
    besos!

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  8. UFFFFFFFFFFFF no me acuerdo de lo que es eso Chema !! Ay que ver que listo eres coñe! Besotes cielo.

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  9. Qué mente tan genial tienes, Chema, ya me gustaría a mí. Siempre haces amena cualquier entrada, aunque sea sobre algo que yo no entienda y que al final consigo entender gracias a tí. Besitos, guapo.

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  10. imanara, gracias, ya será menos, jejeje. al darles mates a los niños me doy cuenta de lo difíciles que son para ellos. si los tuyos alguna vez tienen dificultades, escríbeme!! :)

    merchi, eso es verdad, intento que sean de agradable lectura sin que sea necesario que se entienda todo lo que cuento, jeje. con las clases hay más presión, porque los niños sí que me tienen que entender bien, si no, mal asunto!! ;)

    besos!

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  11. A mí esto de las parábolas me ha mareado un poco con tanta fórmula, pero con lo de Holmes me ha quedado estupendamente claro.

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  12. ses, entre un sueño que tuve con curvas geométricas y que en el último programa de 'órbita laika' de la 2 hablaban de la catenaria, me pasé la semana pensando en curvas y tenía que escribir una entrada así o no me quedaba tranquilo, jeje.

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