domingo, 14 de septiembre de 2014

cicloide


la cicloide es la curva que describe un punto exterior de un círculo que rueda sin deslizamiento.

como explicábamos en esta entrada que mañana cumplirá un año, el movimiento de rodadura sin deslizamiento es la combinación de dos movimientos: una rotación respecto al centro de la rueda y una traslación horizontal.

la velocidad de traslación es tal que el punto de contacto de la rueda con el suelo en cada instante se mantiene inmóvil, y el centro de la rueda se desplaza a una velocidad de valor ω·R, siendo ω la velocidad angular y R el radio.

así pues, las ecuaciones de este movimiento se pueden expresar como sigue. dado que para el caso que nos ocupa podemos prescindir del tiempo, el ángulo ω·t girado lo podemos expresar simplemente como φ.


he dibujado una cicloide sencilla, representando la posición del círculo cada 45º girados. como 45º son π/4 radianes, y la velocidad de traslación hemos dicho que es igual a la velocidad angular por el radio, a cada π/4 de ángulo girado el centro del círculo se desplazará R·π/4 respecto a su posición anterior.


la longitud de la cicloide se puede calcular integrando cada diferencial de longitud. ese diferencial será la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos dx y dy. los diferenciales los obtenemos partiendo de las expresiones de x e y en función del ángulo φ.

integramos sobre φ a lo largo de una vuelta completa, es decir entre 0 y . sacamos de la integral las constantes y empleamos las igualdades que relacionan los cuadrados de las senoidales con el coseno del ángulo doble.

y obtenemos un curioso resultado: la longitud de la cicloide es igual a 8 veces el radio R del círculo, o si se prefiere, 4 veces su diámetro.


también podemos calcular el área encerrada por la cicloide. para ello integramos los rectángulos de base dx y altura y, empleando de nuevo φ como variable de integración entre 0 y .

el resultado es que el área comprendida entre la cicloide y la línea de rodadura es igual a 3 veces el área del círculo, π·R2. esta vez sí depende de π.


espero que os haya gustado esta entrada. que por cierto, es la número...

15 comentarios:

  1. Peroooo, ¿cómo perdió finalmente la caja? xDDD

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  2. Madre mía cuanto número, yo me pierdo jejeje.
    Un beso

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  3. Chema, felicidades por tu entrada número 300, espero que haya muchísimas más y que todos las leamos...
    Ya se me habían olvidado esas fórmulas, ... !què tiempos!

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  4. eva, puse una viñeta de un coche como ilustración por ser una entrada sobre el movimiento de rodadura, jeje. esther y su amiga pelirroja, que es policía, están resolviendo un misterioso caso... por tu profesión, seguro que esas cosas te gustan!! ;)

    queca, no te preocupes, no eres la única, jeje. ya pronto me pondré a dar clases particules a los niños. me invento sobre la marcha problemas que me parecen amenísimos, pero ell@s me miran con cara de "te mato". :D

    lucía, gracias!! las integrales de la cicloide me puse a hacerlas sobre la marcha, y sorprendentemente se podían hacer, porque lo más típico es toparse con una integral que no se pueda hacer analíticamente. y me he dado cuenta de que muchas veces hemos tenido que calcular el área encerrada bajo las curvas, pero casi nunca la longitud de las curvas. no se le da mucha importancia a eso...

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  5. Hola: tengo la excusa perfecta porque fui de letras mixtas.... ja, ja... no me acuerdo de nada. Me encanta la imagen de Esther en el coche con su amiga... Ya leo que pronto volverás a enseñar a los niños... Muchas felicidades por esta entrada 300... un número redondo... a por muchas más... seguimos en contacto

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  6. marta, la chica que va con esther es samantha, una mujer policía compañera de ted, el padrastro de esther. sale en varias historias. cuando estaba en santander, como sabía que me aproximaba a la entrada 300, se me ocurrió pintarlo en la arena de la playa (chapuceramente, pero en fin) y hacer la foto, jeje.

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  7. Oooh enhorabuena por tantas entradas y que sean muchas más

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  8. Enhorabuena por la entrada 300, aunque he de reconocer que ya no me acuerdo de estas cosas!

    Besos!

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  9. geno, hasta llegar al siguiente múltiplo de 100 tendré tiempo de pensar qué foto o ilustración pondré, jeje. para las 100 puse una foto de una moneda de 100 pesetas, y para la 200 un billete de 200 pesetas que tengo en un cajón, escaneado.

    fashion lover, esto de la cicloide creo que nos lo explicaron de pasada en dibujo de cou. yo lo he recordado leyendo libros divulgativos de matemáticas, porque lo que es en la carrera, nada. allí nos daban unas entelequias abstractas que no se encontraban en ningún libro, y no daban cosas más importantes y con aplicación en la realidad...

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  10. Te digo lo mismo que la otra entrada de tu blog; eres el MEJOR: Y ¡Aupa esas fantasticas 300 entradas, aupa!

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  11. bertha, gracias guapa!! :) publico como una vez por semana, aunque hay épocas en las que estoy más imaginativo y las entradas están espaciadas por menos de siete días. con lo cual, si el año tiene 52 semanas, pues en un año publico un poquillo más que eso.

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  12. Chema !! 300 entradas y yo sin conocer este Blog tan chulo
    ¡¡me encanta!!
    Pues nada, me hago seguidora de él y estaré atenta a tus 3000 proximas entradas
    Un gran saludo

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  13. itzi, bienvenida!! comenté en el tuyo cuando estabas ausente por vacaciones, pero ahora has vuelto, lo cual me alegra mucho. 3000 más? bueno, ya veremos, todo es posible, jejeje.

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  14. ¡¡¡¡Enhorabuena Chema por tus 300 entradas!!!!!
    Un besote.

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  15. arien, gracias!! y también por estar ahí leyendo. con la próxima entrada, si no cambio antes de idea, te reirás mucho a costa mía. :)
    besos!

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