martes, 10 de junio de 2014

tres dimensiones


no, en realidad no vamos a hablar de películas en 3d, ni de cuadros que aparentemente cobran vida... vamos a hablar de figuras geométricas tridimensionales.

ayer hice un tetraedro de cartulina, para poder explicarle mejor algunas cosas a mi alumna. un tetraedro es un poliedro regular formado por cuatro caras con forma de triángulo equilátero.



hay dos conceptos que no se deben confundir:
  • la altura de la cara triangular de la pirámide, que se utiliza para calcular su área exterior.
  • la altura de la pirámide, desde uno de sus vértices hasta el centro de la cara opuesta, que se emplea para calcular su volumen.

aquí tenemos la pirámide vista en planta, con una cara de cada color.


nos vamos a situar en una de sus caras. primero calcularemos la altura de la cara, a la que llamaremos h minúscula. si llamamos l al lado del triángulo -es decir, la arista del tetraedro-, se forma un triángulo rectángulo de catetos l/2 y h, y de hipotenusa l. aplicando el teorema de pitágoras, obtenemos el valor de h, que es (√3/2)·l. su longitud, de manera aproximada, viene a ser un 87% de la longitud de la arista.



ahora tenemos que calcular la altura de la pirámide, a la que vamos a llamar H mayúscula. para ubicarnos, vamos a hacer un dibujo en sucio de la pirámide. nos damos cuenta de que se forma un triángulo rectángulo de catetos la altura H y el radio de la circunferencia circunscrita a la cara, que denotaremos con la letra r; y de hipotenusa la arista l.


primero tenemos que calcular el valor de r. volvemos a situarnos en una cara del tetraedro. nos damos cuenta de que el triángulo rectángulo que se forma es justamente la mitad de un triángulo equilátero. sus catetos serán las mitades de la arista y del radio que buscamos, l/2 y r/2, y su hipotenusa será r. despejamos y obtenemos el valor de r.



y por fin, en el triángulo rectángulo de catetos H y r, y de hipotenusa l, lo único que no conocemos es H. aplicamos de nuevo el teorema de pitágoras, y hallamos el valor de H. es igual a √(2/3)·l, aproximadamente un 82% de la longitud de la arista.



en los problemas de figuras tridimensionales no tienes total libertad para inventarte los datos. y menos cuando se trata de poliedros regulares como el tetraedro. si das un valor para la arista, la altura de la cara y la altura del tetraedro te vienen dadas automáticamente, como cuando aplicas una fórmula en excel. los niños aún no saben calcularlas y tienes que dárselas tú para que puedan hacer los problemas. pero se las tienes que dar bien calculadas, o por lo menos con la suficiente aproximación. y es que entre los problemas que ponen en el colegio de mi alumna he visto más de uno mal planteado, vamos, que son figuras imposibles.

13 comentarios:

  1. Cada día me pasma más tu vasta sabiduría, así como tu forma de transmitir conocimientos.
    Ya podía haber tenido yo en el cole un profe de mates como tú.

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  2. Sssshhht, pero no se lo digas a la niña, que va a poner al profe a parir... he, he. Estoy con Opiniones incorrectas, era una entusiasta de las mates, probablemente, si te hubiera tenido a ti de profe, hubiera terminado adorándolas, eres un gran maestro.

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  3. Me encanta la lección que has dado, a mi me costaba mucho ver esas cosas hasta que di con un profe bueno y es que gente profesional como tu escasean.
    Un besazo guapo :)

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  4. eva, se hace lo que se puede, jeje. no sé dónde leí hace poco que es una mala práctica hablar en argot, y justo eso es lo que trato de evitar. procuro utilizar palabras sencillas que todo el mundo pueda entender, y pongo ejemplos de la vida real. lo intento, al menos. :)

    ses, precisamente en un examen el profesor le quitó un punto de manera equivocada a mi modo de ver (que tampoco era muy importante, porque en vez de un 8 sacó un 7), y es que puso un triángulo que según él era rectángulo, y por tanto su ortocentro tenía que estar justo en el vértice del ángulo recto, y a ella le salió un pelín más adentro. pero haciendo cálculos, con los datos que había dado no era un triángulo exactamente rectángulo. el ángulo sería de 89º o una cosa así, pero no de 90º justos. la niña lo había hecho bien.

    queca, gracias!! :) precisamente a mí se me despertó la afición por las matemáticas gracias a un profesor que tuve en 8º de egb, que era un señor de cerca de cincuenta años con barba y muy campechano, que explicaba las cosas de manera muy asequible para cualquiera.

    besos!!

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  5. Tienes un premio en mi blog para ti Chema.

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  6. Hola. seguro que tu alumna sacará sobresaliente. Muy buena explicación del triángulo en tres dimensiones.

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  7. Puaffff... a mí los problemas geométricos no me gustaban nada de pequeña, me costó la misma vida comprenderlos, sí, ya sé que no es lo más difícil del mundo de las matemáticas, pero a mí es que la geometría no me gustaba nada, pero nada de nada, aggrrrrr....

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  8. Recuerdo haber hecho figuritas de esas en cartulina en el colegio jejejeje

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  9. lucía, gracias de nuevo!! dentro de la próxima entrada irá ése y otro más que me han dado por ahí. :)

    marta, en los últimos exámenes desde luego ha sacado notas en torno al notable, pero también es que ella es lista y aplicada, y estos temas de geometría le han gustado, jeje.

    maría, hay cosas que se nos atraviesan, yo de eso nunca me voy a extrañar porque en la carrera se me atravesaba cada asignatura que aprobaban todos menos yo... :P a mí en 1º de bup me costó la trigonometría, porque era algo muy nuevo para nosotros.

    geno, la pirámide recortable es fácil, al igual que el cubo. el octaedro, bueno, así así. los que son complicados son el dodecaedro y el icosaedro, jeje. luego hay que fijarse en qué líneas van a coincidir en una sola arista, y poner solapa en sólo una de ellas.

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  10. Bien explicado, Chema, así no es tan difícil aprender ese tipo de cosas que se nos hacen tan complicadas a algunas personas. Que suerte tienen tus alumnos, jejeje... Besitos.

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  11. merchi, gracias!! :) se trata de dividir un problema complicado en varios problemas más simples, eso es intenta al menos, jeje. besitos!

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  12. Me encanta tu blog, es muy inspirador!! El dibujo de tu prima es chulísimo! Por cierto, el hijo/a de un primo es nuestro primo segundo, nunca había oído eso de primo-sobrino, jejeje.

    Besos!

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  13. fashion lover, gracias por tu visita!! :) la verdad es que lo de prima-sobrina me lo inventé, jeje. nada, yo la considero prima a pesar de ser veinte años mayor que ella. soy joven de espíritu! :D
    besos

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