martes, 6 de mayo de 2014

el círculo


los niños de 6º de primaria ya saben que el área de un círculo de radio R es igual a π·R2. conocer esta fórmula y utilizarla no es excesivamente difícil. pero demostrarla ya es un problema de nivel universitario.

supongamos una circunferencia centrada en el origen. cada uno de sus puntos se puede situar por sus coordenadas {x,y}, que serán las proyecciones horizontal y vertical del radio. nos será útil expresarlas en función del ángulo α que forma el radio con uno de los ejes, pongamos que sea el horizontal.



la ecuación de la circunferencia es x2+y2=R2. efectivamente, por el teorema de pitágoras, las coordenadas de los puntos son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio.

esta ecuación se puede desdoblar en dos funciones: y=±√(R2–x2). las ramas de signo positivo y negativo se corresponden con la semicircunferencia superior y la semicircunferencia inferior, respectivamente.

para calcular el área del círculo interior a la circunferencia, nos resultará más cómodo calcular el área de un cuarto de círculo y multiplicarla por 4. hasta ahí, de acuerdo. el problema viene en la integral que hay que resolver.

realizaremos el siguiente cambio de variable: x=R·cosα. también habrá que cambiar los límites de integración. x=0 se corresponde con el radio vertical, por lo que α=π/2 (90º); en x=R el radio está horizontal, con lo cual α=0.


ya “sólo” queda resolver la integral. en primer lugar, el signo negativo lo compensamos intercambiando los límites de integración; R2, al ser una constante, puede salir fuera de la integral; aplicamos la igualdad sen2α+cos2α=1; recordamos la expresión que relaciona el cuadrado del seno con el coseno del ángulo doble; y por último, integramos entre 0 y π/2.


y por fin llegamos a donde ya sabíamos: el área del círculo es π·R2. ya veis cuántos cálculos hay detrás de una fórmula aparentemente tan sencilla. y reconozco que los he explicado un poco apresuradamente, porque de otro modo esta entrada habría sido interminable...

la forma circular se encuentra en muchos lugares. por ejemplo, en algunas fuentes como la que hay en la plaza de san juan de la cruz, cerca del intercambiador de nuevos ministerios. por allí paso siempre para ir a dar clases a una niña que ya ha tenido que vérselas con las circunferencias y los círculos...

19 comentarios:

  1. El anterior tema de mi hijo, que está en sexto, ha sido las áreas y perímetros. Entre ellos el del círculo. Yo he disfrutado como una enana repasando mate con él. Me encanta esta parte de las matemáticas... De momento mi hijo parece que lo ha pillado a la primera...

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  2. Hola: acabo de descubrir tu blog y me gusta mucho la variedad de temas que tratas. Tengo un blog dedicado a las muñecasbarbies. Te invito a visitarlo: all4barbie.blogspot.com Si quieres seguimos en contacto. Yo me hice seguidora de tu blog.

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  3. lucía, la geometría es muy interesante y bonita. yo también disfruto mucho dando esos temas. y dan pie a muchas curiosidades para contar si en un momento dado notas que el niño se cansa y que conviene contar algo ameno...

    marta, te había visto en otros blogs! ya tenía curiosidad de visitar el tuyo, te me has adelantado. voy para allá. y sí, en mi blog te puedes encontrar de todo, te lo aseguro. :)

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  4. Hola,gracias por la visita y si no te importa me quedo por aqui..
    Un saludo

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  5. maría, bienvenida a ti también! espero que lo pases bien aquí. para compensar rollos matemáticos como el de esta entrada, de vez en cuando intercalo alguna historia tonta, como la de la camiseta, que veo que has comentado en esa entrada. :)

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  6. Madre mía, qué analfabeta soy en lo que a números se refiere, Chema... ¡no me acuerdo de nada!

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  7. Contigo recordamos lo que aprendimos, aunque ya lo tengamos algo olvidado, ¿sabes? me gustó encontrarme con esas fórmulas, tan olvidadas.

    Un beso.

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  8. Yo no recuerdo todas estas cosas, ¿los de 6º lo saben, en serio? me siento un poco inútil, ahora tendré que ponerme a hacer círculos para analizar el tema. ¡Es coña! bueno, lo de que no me acuerdo iba totalmente en serio.

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  9. eva, no te preocupes, si saber de mates para lo único que sirve es para enseñárselas a los pobres niños que tienen que estudiarlas y que de adultos las olvidarán, salvo a alguno a quien le gusten y se dedique a enseñarlas a los de la siguiente generación. la vida es cíclica! :D

    maría, yo tuve una época poco después de terminar la carrera en la que no quería saber nada de números porque estaba saturado, pero duró poco. a mí es que me gustan las matemáticas, debe de ser genético. pero a la mayoría de mis compañeros de la carrera no les gustan ni se acuerdan de ellas ni nada, las consideraban sólo como un obstáculo a superar.

    ses, lo que saben es la fórmula de pi por el radio al cuadrado, jejeje. que ya es bastante. lo que no saben es de dónde sale. la única manera de demostrarla es integrando, y hasta bachillerato ni oyen hablar de eso, afortunadamente para ellos! lo de hacer círculos puede servir para relajarse, oye. ;)

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  10. preciosa la foto de la fuente y que bien se lo están pasando los pitufos jejeje (ya sabes que las mates y yo... en fin)

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  11. Holaaaa!!!! La verdad es que en su momento me gustó las integrales, los senos, los cosenos... desarrollar formulitas, ahora no sé si tendría paciencia. El circulo es una figura, junto con el triangulo, que me encanta, las representaciones en circulo me llaman poderosamente la atención y estar dentro de uno, es mágico... Voy a ver si me da tiempo dejar mensaje en tus otras entradas.
    La foto de la fuente preciosa.
    Un beso.

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  12. geno, en realidad mi motivación para escribir esta entrada era hacer la gracieta de poner la foto de los pitufos bailando en círculo, jugando con el significado de esa palabra, y a continuación un montón de fórmulas trigonométricas. luego se me ocurrió lo de la fuente y... entrada nueva habemus!! :D

    arien, la circunferencia, y su superficie interior que es el círculo, son bellas figuras que ya se descubrieron en la antigüedad. de una definición tan simple aparentemente como es "el conjunto de puntos que equidistan de un llamado centro" sale una figura tan perfecta. yo creo que es la única definición de la circunferencia en la cual no se incurre en una tautología. porque si la defines hablando de puntos que giran y cosas de esas, el giro implica describir una de circunferencia, que es justo lo que se trata de definir...

    besos!!

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  13. Como siempre en estos temas ando pegá (como diría mi madre jeje) y eso que te explicas muy bien :) besitos y saludos!

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  14. bego, pensaba que en esta entrada no iba a comentar nadie, porque las integrales son demasiado, jeje. sin embargo ha tenido buena aceptación. :) a mis alumn@s mejor no se la enseño, para que no se asusten de lo que tendrán que estudiar en el futuro.
    besitos!

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  15. Madreeeeeeeeeee yo veo ahora todo eso y me cago toa!! Si me quedé en las divisiones!!! Ay dios mio!! Proximo reto,estudiar de nuevo jaja me encanta la foto de los pitufos!!Besotes Chema.

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  16. Me alivia lo que dices acerca de que todos se olvidan de las matemáticas cuando se hacen adultos a no ser que vayan a dedicarse a ellas. ¿De verdad no me pasa solo a mí? Aysss, me alegro mucho, porque aunque es cierto que explicas muy bien las cosas, me cuesta muuuuuuchoooo, jajajaja... Besitos Chema.

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  17. imanara, ya es algo, las divisiones son muy importantes!! alguna vez me ha tocado explicarlas. en este tipo de entradas me gusta poner una viñeta al principio, porque así en las listas de blogs, al aparecer mi última actualización es la imagen que se ve, y queda simpático. luego la gente viene y se encuentra un montón de números y fórmulas, jejeje.

    merchi, ya lo creo que se olvidan! y cuando alguien pregunta para qué sirven las mates, yo digo "para enseñarlas!". es una situación bucle, algo así como una historieta de los pitufos en la que el pitufo manitas construía una máquina que transformaba las nueces en monedas de oro. papá pitufo le preguntaba qué iba a hacer con ese oro, y él respondía "para comprar un gran saco de nueces!". :D

    besos!!

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  18. Pero no dudo que esa niña a la que le das clases aprenderá tus lecciones de maravilla, porque se ve que sientes pasión por las mates, y no me cabe la menor duda que tienes que ser un profe sencillamente magistral!

    Olé y olé!!

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  19. maría, gracias!! se hace lo que se puede, jeje. siempre intento hacer las cosas sencillas. cuando llevas muchas clases dadas, tienes más experiencia. adquieres más agilidad mental para que se te ocurran sobre la marcha ejemplos de cosas de la vida real cuando hay algo que no entienden... a mí esto me gusta, estoy como pez en el agua. :)

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