miércoles, 6 de noviembre de 2013

esferas

en el sistema de coordenadas esféricas, un punto viene definido por tres parámetros:

  • la distancia del origen de coordenadas a ese punto, que se representa por una línea de longitud r minúscula.
  • el ángulo que forma la línea que une el origen y el punto en cuestión con el eje vertical. dicho ángulo se denota con la letra griega θ.
  • el ángulo que forman la proyección de la línea que une el origen y nuestro punto sobre el plano horizontal, y un eje de dicho plano que hayamos fijado. a este ángulo lo llamamos φ.

el dibujo os ayudará a verlo más claro. dado que vamos a hablar de la superficie terrestre, la distancia desde el centro hasta cualquier punto será constante y la llamaremos R mayúscula.


el sistema de paralelos y meridianos que se utiliza para localizar cualquier punto de la tierra, en realidad es una aplicación de las coordenadas esféricas, aunque con ciertos ajustes.

la latitud, marcada por cada paralelo terrestre, viene dada por el ángulo θ. sólo que, a diferencia del sistema de coordenadas esféricas modelado por los matemáticos, este ángulo se empezará a medir desde el ecuador.

según avanzamos hacia el norte, el ángulo de latitud irá aumentando desde en el ecuador hasta 90º en el polo norte. de manera análoga, al desplazarnos desde el ecuador en sentido contrario, el ángulo “disminuirá” desde hasta –90º en el polo sur. en términos matemáticos, así es como funciona. sin embargo, para indicar las coordenadas de un punto no emplearemos signos algebraicos, sino que especificaremos si se trata de ‘latitud norte’ o ‘latitud sur’.

los paralelos son circunferencias cuyo radio va disminuyendo desde el ecuador -que es el paralelo de mayor radio- hasta los polos -donde se reducen a un punto-. es como si fuéramos cortando la tierra por planos horizontales paralelos entre sí.

pasamos a hablar de los meridianos, que marcan la longitud este/oeste. el ángulo φ nos dice cuál es esa longitud. tampoco este ángulo funciona exactamente como en el modelo didáctico que se estudia en matemáticas.

el ángulo que mide la longitud se empieza a medir desde el meridiano de greenwich. si nos desplazamos hacia el este, variará desde en greenwich hasta 180º en la línea de cambio de fecha, trazada sobre el océano pacífico. y si el recorrido lo hacemos hacia el oeste, el ángulo variará desde hasta –180º en la misma línea de cambio de fecha. pero en el lenguaje corriente no se habla de signos +/– sino de ‘longitud este’ o ‘longitud oeste’.

a diferencia de los paralelos, los meridianos siempre tienen el mismo radio, que no es otro que el radio terrestre. están contenidos en planos que pasan por el eje vertical de la tierra. es como si hubiera un plano que pudiera girar sobre dicho eje vertical, y al girarlo fuéramos dividiendo la tierra en gajos.


la distancia más corta entre dos puntos de la superficie de la tierra viene dada por la circunferencia máxima: aquélla cuyo centro coincide con el centro de la esfera terrestre y que pasa por los dos puntos dados.

los aviones suelen realizar sus vuelos a través del trayecto definido por la circunferencia máxima. a veces el camino más corto no es el que parece a primera vista. por ejemplo, algunos vuelos de parís a tokio pasan por el polo norte: se tarda menos que sobrevolando toda asia.

otro ejemplo curioso: madrid y nueva york se encuentran en la misma latitud, y podría parecer que el camino más corto entre ambas ciudades coincide con su paralelo común, verdad? pues no, se tarda menos a través del tramo de la circunferencia máxima que pasa por madrid y nueva york, y que no coincide con el citado paralelo.

las antípodas de un punto determinado se obtienen sumando 180º al ángulo θ que define su latitud, y sumando 180º al ángulo φ que indica su longitud. es decir, si las coordenadas de un punto de una superficie esférica vienen dadas por {θ, φ}, las coordenadas del punto diametralmente opuesto serán {θ+180º, φ+180º}.

así lo expresaríamos en lenguaje matemático. pero, en nuestro sistema de meridianos y paralelos, lo diremos de otra manera.

si un punto tiene un ángulo α de latitud norte/sur, el punto diametralmente opuesto tendrá el mismo ángulo α pero en sentido contrario al primero: sur/norte. los paralelos donde se encuentran dos puntos diametralmente opuestos son imágenes especulares respecto al ecuador.

y si un punto tiene un ángulo β de latitud este/oeste, el punto diametralmente opuesto tendrá un ángulo de valor 180º– β en sentido contrario: oeste/este. podemos imaginarnos una puerta giratoria para visualizarlo: si la giramos un cierto ángulo, el extremo de la hoja opuesta se desplazará ese mismo ángulo, y visto desde el plano central será el suplementario del primero.

resumiendo: dado un punto de la superficie terrestre definido por las coordenadas {α norte/sur, β este/oeste}, sus antípodas tendrán como coordenadas {α sur/norte, 180º– β oeste/este}.

la circunferencia máxima que nos da la trayectoria más corta entre dos puntos es única, salvo en el caso de dos puntos diametralmente opuestos. en este caso particular el primer punto, el centro de la tierra y el segundo punto están alineados, por lo que existen infinitos planos que pasan por esa recta. y por tanto, existirán infinitas circunferencias máximas.

por ejemplo, un vuelo desde madrid hasta auckland (nueva zelanda) sería igual de largo independientemente de su recorrido, siempre que éste estuviera definido por una circunferencia máxima. nos daría igual atravesar el océano índico, o atravesar el atlántico, américa y el pacífico, o pasar por uno de los polos...

acabo ya, que esta entrada me ha salido más larga de lo que creía. os dejo con tintín y el capitán haddock, observando la tierra desde otra perspectiva...

14 comentarios:

  1. chema, wapo, me gustan tus dibujitos, la foto del globo con luz menkanta (tuve uno sin luz de pequeña y era una especie de deseo insatisfecho) y la viñeta de Tintín ya sabes que me gusta también...pero no me veo con ánimo para leer la entrada. Hay días en que me siento más de Letras que nunca.
    Bsssssssss
    Cloti

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  2. Ahora que veo esa bola del mundo, que es cómo las que teníamos de pequeños, me acuerdo de que mi hijo se pidió una igual para reyes el año pasado. Había modernas, electrónicas, que te hablaban, de todo pero él empeñado en que quería esa. Supongo que quería ser él el que dedicase tiempo a investigar y buscar sitios.

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  3. cloti, te doy la razón, la verdad. ;) es una de esas entradas que a mí mismo me cansan. casi no me atrevo a releerla para ver si hay algo que se pueda expresar mejor, si hay alguna palabra que repita demasiado... porque no acabaría nunca de corregir cosas.

    lucía, mi globo también es de esa época, me lo regalaron por mi primera comunión. apagado se ve el mapa político (que ha cambiado desde entonces), y encendido se ve la geografía física. bien por tu hijo, por tener esas inquietudes. un globo terráqueo es un regalo muy perdurable y educativo.

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  4. Hey, tengo un globo terraqueo como ese con luz y todo :-D

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  5. Uf, menuda entrada complicada, casi haces que me estalle la cabeza, jajaja... Yo también me quedo con la foto del globo, que me ha encantao. Yo no lo tuve con luz, pero recuerdo que me pasaba horas dándole vueltas y soñando con los paises que algún día visitaría, cosas de niñas soñadoras, jeje... Besito.

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  6. geno, se ve que en nuestra época era un regalo muy común para los niños! ;) yo el mío de pequeño lo encendía mucho, ahora sólo de vez en cuando... lo que me alucina es que veintisiete años después siga funcionando!

    merchi, sí que es complicada. esa foto del globo es de hace mucho tiempo, y la he puesto entre medias para que no hubiera tanto texto seguido, jeje. yo que también era soñador, me quedaba embobado mirando lo grandes que eran algunos países comparados con el nuestro, la cantidad de agua que había en los océanos...

    besos

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  7. Es que ya no se fabrican cosas como las de antes jajajajja El mio también funciona, sí que es flipante

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  8. Hola: Siempre me han gustado muchísimo los mapas y claro, los globos terráqueos, de chica me chiflaba compararlos con los mapas antiguos, me pasaba horas mirandolos e imaginando mis viajes por el mundo. Entre otras cosas quería ser azafata o diplomática.
    Te dejo el mensaje desde mi blog, porque no me dejan acceder a mi correo particular, y no sé porque.
    Un beso.
    ARIEN.

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  9. Hola Chema!!! Gracias por tu cariñosa bienvenida!! He pensado en escribirte un montón de veces, pero al final no encontraba el momento. Veo que has cambiado algo el blog o me lo parece, hace meses que no entraba por aquí y claro.....
    He leído hasta tu entrada de parvulitos, qué mono, mira que dejar a tu madre colgada a la puerta del cole!!!
    Esos libros de hadas que comentas, son como para la edad de Silvia (mi hija) o para más mayores?? Sé que a ti te han gustado, pero igualmente pueden ser para niños más pequeños, o no?? Tienen buena pinta.
    Un beso grande!!

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  10. arien, yo también siempre he sido muy de mirar los mapas. pero deben ser de zonas concretas separadamente (un continente como mucho), para que no se note en exceso la distorsión en la proyección de la esfera al plano. esos mapas del mundo en los que groenlandia se ve casi tan grande como américa del norte me chirrían un poco. ahora que lo mencionas, las azafatas de avión deben de estar hechas de una pasta especial: se necesita mucho aguante para estar volando de un lado a otro del mundo, un carácter tranquilo para atender a los pasajeros y mantener la calma si hay algún peligro...

    rosana, qué alegría me dio que volvieras, cuando vi tu nueva entrada en la lista de blogs!! sí que he cambiado un poco el blog. un día me encontré que se me habían descolocado los gadgets del margen izquierdo y no podía arreglarlo, así que le puse una nueva plantilla. eres la única que me lo ha comentado, muy observadora! ;) los libros de 'top fairies', yo diría que pueden ser aptos a partir de 13 años por lo menos. así que, aunque tu pequeña silvia es una niña inteligente y madura para su edad, creo que dentro de unos años podrá disfrutarlos más. :) ah, lo del meterme en el comedor por las buenas cuando estaba en párvulos, todavía nos reímos mi madre y yo al recordarlo. :D

    besos a ambas!!

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  11. Tú sí que sabes, Chema, cuando vengo a tu blog, siempre hay mucho que aprender.

    Ah, y me encantó volver a leer a Tintín jajaja qué recuerdos.

    Un beso.

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  12. Te puedo asegurar que las esferas siguen despertando interés y hasta diría emoción en los más pequeños. Siempre tengo una en mi clase. Les encanta preguntar y localizar....
    Besicos.

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  13. maría, me alegro, a veces me salen entradas un poco densas pero espero que algo se quede al leerlas, jeje. ahora estoy releyendo las aventuras de tintín una vez más. me traen buenos recuerdos y nunca me cansan.

    amelia, eres profesora tú también? los globos terráqueos son muy educativos. la geografía se tendría que enfocar más, en lugar de aprenderse tantos nombres de capitales, a tener una idea general de cómo están distribuidos los continentes, los océanos, dónde se encuentran los principales países...

    besos!

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  14. Hola primo

    aquí te dejo unos enlaces relacionados con esferas que, creo, te llamarán la atención

    http://www.moebio.com/esfera/complexity/esfera.htm

    http://www.bestiario.org/research/videosphere/

    y una propia

    http://www.gearthblog.com/blog/archives/2013/12/using-google-earth-display-knowledge.html

    y felices fiestas!

    José

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