domingo, 15 de septiembre de 2013

ruedas

en un movimiento de rotación de un cuerpo, lo que se denomina centro instantáneo de rotación es un concepto fácil de entender intuitivamente. viene a ser el punto que se mantiene inmóvil, y alrededor del cual giran los demás puntos del cuerpo que estamos analizando.

imaginemos el caso de una rueda que gira sobre sí misma sin trasladarse. algo así como cuando las ruedas de un coche se deslizan sobre la nieve. es fácil intuir que el cir se halla en el centro de la rueda. pero no siempre será tan fácil. este caso es sencillo porque se trata de un movimiento de rotación pura.

en el caso de una rueda de un coche en movimiento, si nos preguntan dónde está el cir, podemos caer en la trampa de decir que también está en el centro de la rueda. pero no es así. en este caso, para empezar, el cir es diferente en cada instante del movimiento. y se halla en el punto de contacto de la rueda con el suelo.

este movimiento se denomina rodadura sin deslizamiento. es la combinación de dos movimientos: uno de rotación pura y otro de traslación. vamos a explicarlo con más detalle...

en un movimiento de rotación pura de un cuerpo circular, el valor de la velocidad de cada punto será ω·r, siendo ω la velocidad angular y r minúscula la distancia del punto al centro. esta velocidad será máxima en el contorno exterior, y su valor será ω·R, siendo R mayúscula el radio de la rueda. así pues, la velocidad irá aumentando linealmente desde 0 en el centro hasta ω·R en la circunferencia exterior.

la dirección de la velocidad será perpendicular al radio donde está situado cada punto. suponemos que la rueda gira en sentido antihorario, y nos fijamos en el diámetro vertical de la rueda: en ese preciso instante, los puntos que están por encima del centro se desplazarán horizontalmente a la izquierda, y los puntos por debajo del centro lo harán horizontalmente hacia la derecha.

así pues, las velocidades instantáneas de los puntos del diámetro que se encuentra en posición vertical, se pueden representar gráficamente de esta manera:


ahora imaginemos un movimiento de traslación pura de la misma rueda. se desplazará hacia la izquierda a una cierta velocidad lineal. para el caso que nos ocupa, nos interesa que el valor de dicha velocidad sea ω·R, que es justamente la velocidad de los puntos del contorno exterior en el movimiento de rotación anterior.


qué ocurrirá si combinamos los dos movimientos? en el punto de contacto de la rueda con el suelo, tendremos dos vectores de velocidad de magnitud ω·R, uno hacia la derecha -el del movimiento de rotación- y otro hacia la izquierda -el del movimiento de traslación-. ambos se anulan entre sí, y el resultado es que el punto en que la rueda toca con el suelo está inmóvil en ese instante. y el punto inmóvil es el centro instantáneo de rotación que estábamos buscando.

seguimos fijándonos en el diámetro vertical. a las velocidades que tenían sus puntos en el movimiento de rotación pura, habrá que sumarles las velocidades -o mejor la velocidad en singular porque es siempre la misma- del movimiento de traslación pura.

el resultado será que la velocidad de cada punto del diámetro vertical irá variando linealmente desde 0 en el punto de contacto con el suelo, pasando por ω·R en el centro de la rueda, hasta 2·ω·R en el punto más alto de la rueda.


va contra la intuición que la rueda gire sobre el punto de contacto con el suelo, y no sobre su centro. la rodadura sin deslizamiento se puede ver en cierto modo como un movimiento en palanca en el cual la rueda se impulsa sobre el suelo, lo que hace que gire y se traslade. en consecuencia, el punto de apoyo pasa inmediatamente a ser el siguiente punto de la circunferencia exterior. es una sucesión de movimientos instantáneos en palanca que dan como resultado un movimiento continuo.

todo esto es un poco lioso. para que lo entendáis mejor, imaginaos el movimiento de las ruedas del coche de esther y su familia...

14 comentarios:

  1. ¡Hijo mio! por algo las matemáticas son lo tuyo...¡menudo "coco" tienes! por cierto me encanta como has ilustrado la entrada.
    Besossssss.

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  2. Muchas Gracias Chema y gracias por mi regalo de comienzo de curso,me encantó,no suelo mirar el correo muy a menudo y no me había dado cuenta de que estaba ahí
    Un abrazo

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  3. elanor, unas veces me da por fijarme en figuras geométricas y otras en objetos en movimiento. así se me ocurren las ideas para las entradas, jeje. los círculos que representan a la rueda los coloreé por dentro para que se notara que era una rueda maciza. gracias, me alegro de que te haya gustado!! :)

    princesa, mucho ánimo, y sigue contándonos en tu blog qué tal vas. espero que tengas un buen comienzo de curso. y como digo, seguro que eres una gran profesora y tus alumnos irán contentos a clase.

    besos

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  4. Preciosas ilustraciones
    ¡Vaya mundo interior tienes más complejo!

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  5. Interesante entrada, Chema. Siempre aprendo algo contigo ;)

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  6. inma, me alegra que te gusten. las figuras y los gráficos, dibujados a mano siempre tienen más calidez que si se hacen con algún programa informático. tienes mucha razón, estas cosas forman una importante parte de mi mundo interior, jeje.

    merchi, se me quedó muy grabada una clase de física de 1º de carrera en la que el profesor preguntó cuál era el centro de rotación de una rueda rodando sin deslizamiento, y todo el mundo picó en que era el centro de la rueda. se salió del guión, era algo que no venía en los apuntes del catedrático. los casos más sencillos y más relacionados con la vida real son más interesantes.

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  7. Interesante aunque me he despistado en algún momento jajajjaja

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  8. Chema, nos dejas boquiabiertas con tus clases magistrales matemáticas... eres un crack!!!!! Qué bien lo explicas y qué bien te expresas. Eres un profe de 10!!

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  9. geno, totalmente normal, esto es complicado. la asignatura en la que se estudiaban más en profundidad los movimientos, la mecánica de 2º, era considerada por muchos la asignatura más difícil de la carrera. por cierto, en el examen de septiembre en el que aprobé cayó el problema de una varilla apoyada en el suelo y en la pared, como la escalera de pepe gotera y otilio de dos entradas más abajo. :D

    maría, muchas gracias! ya será menos, jeje. esto me sirve de ensayo para luego dar clases de verdad. me divierte prepararlas y pensar la manera de explicar las cosas de manera que los chavales las puedan entender. y uso mucho los rotuladores de colorines, igual que en el blog! :)

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  10. Hola! parece que coincidimos en los círculos, el tuyo en movimiento, los míos giran en mis recuerdos. Muy bién la explicación "profe" me ha gustado, voy a pasarme por tus otras entradas, que he estado totalmente desconectada.
    Un beso.

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  11. princesa, a ti, guapetona! :)

    arien, qué alegría verte por aquí de nuevo! tu hermana me ha chivado que la próxima entrada de 'nancy historias de siempre' será tuya. ;) esta entrada me ha salido muy técnica, la verdad. puede que le sirva a algún estudiante que busque en google "centro instantáneo de rotación" o "rodadura sin deslizamiento.

    besos!

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  12. Chema, muy interesante la entrada. Me gusta que luego siempre encuentres una imagen de Esther relacionada con el tema. Saludos

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  13. lucía, todo esto de las rotaciones tú también lo has estudiado, seguro que te suena. la viñeta la tenía a mano, es una de las que utilicé para los pasatiempos de la revista de septiembre. es sobre modelos de coches, te animas a hacerlo? ;)

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