domingo, 30 de junio de 2013

espejos


el número opuesto a uno dado, por definición, es otro número del mismo valor absoluto pero con el signo cambiado.

si se representan los números en una recta, el opuesto de un número determinado será su imagen especular respecto al origen de coordenadas. la suma de dos números opuestos siempre da 0. y 0 es el opuesto de sí mismo.

el significado de los signos se podría explicar con este ejemplo: si avanzamos el signo será positivo (+) y si retrocedemos será negativo (–). y el valor absoluto será el número de unidades de longitud que avanzamos o retrocedemos.



veamos ahora otro concepto un poco más complicado: el de números inversos.

el número inverso a uno dado -expresado como una fracción-, es otro número -también fraccionario- cuyo numerador será el denominador del primero, y cuyo denominador será el numerador del primero. es decir, dado un número fraccionario, si invertimos el orden de su numerador y su denominador, obtenemos su inverso.

en el caso de los números enteros, consideramos su denominador como unitario. el producto de un número y su inverso será 1. el 1 es inverso de sí mismo. y el 0 no tiene inverso, o bien podemos decir para entendernos que su inverso es infinito (∞).

un número fraccionario se puede visualizar como la pendiente de una línea recta. al desplazarnos por una cuesta, las proporciones que siguen el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal que realizamos vendrán representadas por el numerador y el denominador de la fracción, respectivamente.

si la pendiente de la línea que recorremos es 0, quiere decir que es horizontal. si es menor que 1, es inclinada pero “más horizontal que vertical”. si la pendiente es 1, la línea forma exactamente 45º con el suelo, coincide con la bisectriz de los ejes coordenados. si es mayor que 1, es “más vertical que horizontal”. y si es ∞, quiere decir que la línea es totalmente vertical.

una línea de una determinada pendiente se puede representar con ayuda de un triángulo rectángulo en el que el cateto horizontal es el denominador de la fracción que representa la pendiente, y el cateto vertical es el numerador. la recta seguirá la dirección de la hipotenusa de ese triángulo.

si representamos las fracciones como líneas que tengan las pendientes asociadas a ellas, la inversa de una fracción/pendiente cualquiera será su imagen especular respecto a la línea de pendiente 1.

en el dibujo he representado unas pocas fracciones para ilustrar esta idea. así como los números enteros son un conjunto numerable, no sucede así con las números racionales. entre dos fracciones que tomemos, por próximas que estén, habrá infinitas fracciones.


así pues, existe un paralelismo entre las operaciones de obtener el opuesto y el inverso de un número. en el primer caso el elemento central es el 0 y en el segundo es el 1. 0 es opuesto a sí mismo, es el punto de simetría de dos opuestos entre sí, y es el resultado de sumarlos. por otro lado, 1 es inverso de sí mismo, es el eje de simetría de dos inversos entre sí, y es el resultado de multiplicarlos.

tal como hemos representado los inversos, parece intuitivo que desde la horizontal hasta la bisectriz y desde la bisectriz hasta la vertical hay la misma cantidad de pendientes posibles. infinitas, pero con el mismo grado de “infinitud”, por decirlo de alguna manera. y sin embargo, el análisis de las fracciones/pendientes que se encuentran en uno y otro sector parece decirnos algo muy distinto: en el primero se encuentran las comprendidas entre 0 y 1, y en el segundo están todas las demás, desde 1 hasta ∞. se trata de una gran paradoja.

para terminar, y ya que hemos hablado de imágenes especulares, os doy un consejo por si vais al campo. ya sabéis, debajo de un árbol nunca si hay tormenta, y menos con un espejo. que luego el rayo puede hacer que el reflejo cobre vida, como le ocurrirá al pitufo.

13 comentarios:

  1. jeje Chema yo lo tendria muy mal :) siempre llevo mi espejito a todos lados (otra de mis manias) como sentarme en las esquinas de los restaurantes o morderme el labio derecho si estoy nerviosa. De lo de arriba no me he enterado de nada,normal en mí, jeje
    Besitos e intentaré no sacar el espejo sobre todo cuando haya tormenta y debajo de un arbol. Besitos!!!
    Pd.El pitufo monsísimo, el otro día vi unos en una tienda de juguetes (los nuevos) y me faltó nada para empezar a hacerme la coleccion :)

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  2. Nunca había pensado en el símil del espejo. Soy muy visual, así que desde pequeña he visto los números negativos como si estuvieran sumergidos en agua, es algo parecido.

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  3. Buen consejo Chema. Yo no creo que me pasara porque nunca llevo encima un espejo. No me gusta nada. Saludos

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  4. bego, todos tenemos nuestras costumbres, ahora ya te conozco un poco mejor. :) yo cuando he quedado con alguien, a veces echo de menos un espejo de mano para ver si estoy bien. pero luego nunca me acuerdo de hacerme con uno, jeje. luego ando buscando algún escaparate que refleje lo suficiente, es la ventaja que tiene llegar antes que nadie cuando quedo. :) nunca he tenido figuras de los pitufos, curioso con lo fan que soy de ellos, pero mejor así porque querría tenerlos todos. ;)

    ses, eso que comentas es interesante. los números negativos se pueden entender en términos relativos. como explicaba un profesor que tuve, en un botijo puedes meter agua (variación positiva) o puedes sacar agua (variación negativa). pero en términos absolutos, la cantidad de agua que hay es positiva, o nula si el botijo está vacío. no puede haber "agua negativa".

    lucía, yo no llevo espejo tampoco aunque, como le comentaba a bego, en algún caso concreto no me vendría mal. es curioso, esto de las analogías entre el opuesto y el inverso de un número y las imágenes especulares es una idea que nunca sabía cómo llevarla al blog, pero ayer se me ocurrió lo de añadir alguna viñeta de comic en la que salieran espejos, para que resultara un poco ameno. lo hice todo en la tarde de ayer.

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  5. Me alucina la capacidad que tienes para asociar las matemáticas con viñetas de los tebeos. Yo no se si podría salvo que las viñetas hablaran de mates, claro jajajjaja

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  6. Cuenta, que no te visito por culpa de Blogovin... voy a ver cómo lo soluciono.
    Me encanta lo del espejo y las fotos de tus anteriores entradas...
    Besicos....

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  7. geno, cuando creo que ya se me han agotado las ideas, de repente se me enciende la bombilla para hacer una entrada de las 'clásicas' de este blog: una explicación sobre algún tema de mates, con los cálculos o las gráficas en rotuladores de colorines, y con alguna viñeta de comic relacionada. :D

    carmen, supongo que se puede, o bien añadir a la lista de favoritos, o bien hacerse seguidor. yo antes creía que lo de ser seguidor era algo simbólico, pero cuando entras en tu perfil sí que te encuentras un apartado con las últimas actualizaciones de los blogs que sigues. me alegra que te gusten las chorradillas de mis entradas recientes! :)

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  8. Una vez, me sorprendió en mitad de la noche una soberana tormenta. Me encontraba en plena montaña rodeada de áboles, me senté entre ellos y pensé "espero que no caigan aquí" cuando empezé a ver que los rayos se precitaban encima de sus copas, uno tras otro, cada vez con más violencia y velocidad. La verdad es que los tenía sobre mi cabeza. ¡Como se iluminaba todo! fue espectacular, magnífico, me puse como una sopa pero no olvidaré esas imagenes y las sensaciones que tuve...
    Lo del espejo difícil que me pase, no lo llevo, ni bolso tampoco.
    ¿Como te encuentras?
    Un beso.

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  9. Hay como me gusta a mi un espejo, siempre he sido muy presumida y aunque con la edad a ido disminulledo, aun me gusta mirarme en un espejo o escaparate o en donde me refleje, que le voy a hacer; y si una a sido presumida, con la edad algo queda, jaja.

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  10. arien, las tormentas tienen encanto y belleza. la manera de iluminarse el cielo, el sonido grave del trueno, el olor a humedad, la temperatura cálida... vaya situación que pasaste, me imagino que con miedo, aunque ahora lo recuerdes como una bella experiencia. curioso lo de no llevar bolso, yo en cambio voy con mi bolsa en bandolera a todas partes. cada uno tenemos nuestras costumbres. ahora estoy mejor, gracias por preguntar. :) lo peor pasó por ahora. algún día lograré separar el amor del miedo... besos.

    bertha, yo también me miro en los espejos por los que paso, a ver si voy bien peinado, si se me ven mucho las canas que empiezo a tener en la sienes... jeje. en realidad somos asimétricos y lo que se ve en el espejo es nuestra imagen invertida, pero vale igual. besitos!

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    1. Hola de nuevo, pues sí que pase miedo, tampoco eso se olvida, se podía haber formado un incendio forestal y yo allí en medio en una zona que estaba prohibida la acampada, por lo tanto no irian a buscarme porque se supone que no hay nadie...
      Otro beso.

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  11. Hijo, perdona lo desconectada que he estado, pero he tenido mucho "lio"...¡y lo que me queda! jejeje.
    Yo siempre he estado a salvo durante las tormentas,(hasta ahora) en cuanto "huelo" agua me recojo, no soy tan aventurera como mi hermana...en mi parcela suelo quedarme en el porche y disfrutar del "espectáculo".
    Besossssss.

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  12. elanor, por cierto, ahora que lo dices, espero que tus niños hayan acabado bien el curso! las tormentas, a mí también me gusta verlas resguardado. lo que dices de oler el agua es muy acertado, porque se percibe el olor a humedad. arien fue muy valiente. ;)
    besos a las dos hermanitas!

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