jueves, 7 de febrero de 2013

galletas


una de mis manías es partir las galletas maría en tres trozos de aproximadamente igual tamaño. por qué? sencillamente porque al partirla en dos, los trozos son demasiado grandes -no caben en la boca-, y al partirla en cuatro son demasiado pequeños.

dada la rigidez de la galleta, no es posible dividirla radialmente en tres ‘gajos’ de igual tamaño y forma. habrá que partir un trozo según una línea recta que quede ligeramente por encima del diámetro. suponiendo que ese trozo tenga un tamaño igual a un tercio de la galleta, la parte restante serán dos tercios, y será fácilmente divisible dado que es simétrica. así pues, hemos dividido la galleta en tres trozos, dos iguales y uno desigual en cuanto a su forma, pero de igual tamaño.


este problema equivale a separar un segmento circular cuya área sea igual a un tercio del círculo completo. si el área del círculo es igual a π·R2, siendo R su radio, un tercio de la misma será π·R2/3.


calcularemos el área del segmento circular como diferencia entre dos áreas que pueden calcularse con relativa facilidad: la del sector circular abarcado por un ángulo α -que aún no sabemos cuál es y deberemos calcular-, y la del triángulo isósceles cuyo lado mayor es la cuerda según la cual hemos dividido el círculo, y cuyos lados menores son radios del mismo, de valor R.


el área del sector circular será igual a la del círculo multiplicada por un factor de proporcionalidad que nos indica la ‘porción de tarta’ que estamos cogiendo. ese factor de proporcionalidad será el cociente entre el ángulo abarcado α y el ángulo completo de la circunferencia, que es 360º, o lo que es igual, 2·π radianes. hace tiempo hablamos aquí de la equivalencia entre grados y radianes.

el triángulo que debemos restar al sector circular lo podemos dividir en dos triángulos rectángulos iguales. el mayor de sus dos ángulos no-rectos será igual a la mitad de α, es decir, α/2. y sus catetos serán las proyecciones horizontal y vertical del radio, es decir, el radio R multiplicado por el seno y por el coseno de α/2, respectivamente.

el área de nuestro triángulo isósceles será igual al área de los dos triángulos rectángulos en que lo hemos dividido. el área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura. al ser rectángulo la base y la altura son los catetos, siendo indiferente cuál sea cada uno. existe una relación trigonométrica según la cual el producto del seno y el coseno de un ángulo es igual a la mitad del seno del ángulo doble, y que nos permitirá simplificar la expresión.

así pues, calculamos el área de nuestro segmento circular restándole al área del sector circular el área del triángulo limitado por la cuerda y los radios.


el área del segmento circular vendrá dada por la expresión R2·(α–senα)/2, y recordemos que debe ser igual a un tercio del área del círculo. por tanto, deberemos igualarla a π·R2/3.

obtendremos una ecuación cuya incógnita es el ángulo α. para entender mejor su significado, la expresaremos de esta manera: α=2·π/3+senα.

 

2·π/3 es igual a 120º. la ecuación nos está diciendo que el ángulo que la satisface es algo mayor que 120º, ya que el seno del ángulo siempre será positivo al ser éste menor que 180º, que sería el correspondiente a dividir el círculo en dos mitades iguales. por otro lado, 120º es el ángulo correspondiente a dividirlo en tres ‘gajos’ iguales, pero al principio decíamos que eso en el caso de la galleta no se podía hacer. la cuerda según la cual la partimos tiene que estar un poco más abajo, y por tanto el ángulo abarcado será mayor.

dicho de otro modo: según la ecuación, el ángulo que buscamos será igual a 120º+‘algo’. y por otro lado, por lo que decíamos, deberá estar comprendido entre 120º y 180º. podemos probar con la media aritmética entre estos dos valores: 150º, cuyo equivalente en radianes es 5·π/6.


como vemos, es una solución suficientemente aproximada. sobre todo cuando se trata de partir una galleta, algo en lo que no se puede pretender ser muy exacto. estuve iterando con diferentes valores, y la solución exacta estaría en torno a 149.3º. pero las iteraciones no os las pongo aquí porque son aburridas y no merecen la pena.

para terminar, os dejo con una sugerencia de algo mucho más interesante que puede hacerse con una galleta maría. si no tenéis nocilla en casa, podéis bajar al supermercado en un momento.

22 comentarios:

  1. Aysss, mira que está buena una galleta María con mucha, mucha Nocilla por encima. Me encantaba de niña y todavía me acuerdo muy bien del sabor. Hace mucho que no las como así y con tu foto me ha dado ganas, ya me lo pensaré, que eso engorda mucho y ahora no estoy haciendo nada de ejercicio. También me gustan mucho las galletas María mojadas en Cola-cao o un buen descafeinado con leche, eso si lo hago de vez en cuando. Los calculos sobre la galleta te los dejo a tí, jajaja...

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  2. La primera parte de la entrada se me queda grande, las mates y yo perdimos el punto de confluencia hace mucho tiempo y desde entonces hacemos vidas paralelas... la segunda parte, ummmmmmm, a qué me voy a la cocina a por la nutella y las galletas????? jeje

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  3. merchi, allá por octubre o noviembre tuve un 'antojo' de galletas maría con nocilla, y sabían tal como lo recordaba, cuando era pequeño y hacía esas mezclas por mi cuenta, jeje. y aunque la cojas por el borde, siempre te manchas, pero bueno. mojadas también están muy ricas!

    pepi, es un problema de trigonometría, eso ya es muy avanzado, hasta 3º de eso por lo menos no se da, jeje. la nutella la tengo que probar un día, seguro que también está rica. en el próximo antojo que tenga! :D

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  4. Qué curioso, justo parto la galleta de esta forma. Es que las matemáticas lo son todo en nuestra vida. Bueno, y el lenguaje, que no deja de tener mucho de matemático.

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  5. !qué ricas! A mi me gusta poner mantequilla y untarlas en la leche y que se deshagan. Las galletas de toda la vida, son las mejores...

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  6. Qeu ricas las galletas María. Con Nocilla muy buenas pero como más me gustan es untadas en mantequilla y mojadas en Colacao. Hacia tiempo que no las comia asi pero este invierno lo he retomado y está siendo muchas de mis meriendas XDDDD

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  7. ses, las matemáticas efectivamente están en todas partes. la lógica está relacionada tanto con las matemáticas como con el lenguaje. wittgenstein basaba su pensamiento filosófico en el lenguaje.

    lucía, las galletas maría son lo que economía se llama un 'producto maduro'. nunca dejarán de tener éxito. con mantequilla también las comía a veces de pequeño, habrá que probar otra vez un día de estos...

    geno, yo suelo mojarlas en café con leche. el cola cao lo tomo después de cenar, sin nada. y lo que me estoy perdiendo, porque mojadas en cola cao tienen que estar de vicio. me ha dado envidia tu merienda! :D

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  8. Bueno como ya sabes yo de Mates ando mas bien pegada jeje pero la galleta tiene una pinta y de la Nocilla ni te cuento. Besitos Chema y ñan!! :)

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  9. Eres increible...mira que llevar una galleta al universo matemático, solo podía ocurrisete a tí, jejeje, lo que más me ha gustado de tu diserción es el plato en el que has colocado la galleta, hombre una galleta María se merece una buena presentación.
    Besossssss.

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  10. bego, en casa siempre tenemos galletas maría. a falta de otra cosa para desayunar, siempre quedan las maría para mojar en el café. y son muy sanas, apetecen hasta cuando estás malo. la nocilla, sólo de vez en cuando, jeje, que engorda. :)

    elanor, es que las mates casan bien con todo, con las cosas de comer también! :D ese plato es de una vajilla que tenemos para los días de fiesta. verdad que es bonito? la última foto, la de la galleta con nocilla, es de hace meses. la hice y la puse en facebook para provocar, jeje.

    besos a ambas!

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  11. Jajajjajaaajajajjaaajaja!!
    Solo tu puedes hacer interesante un post sobre una galleta María, Chema.
    A mi nunca me apasionaron estas galletas hasta que descubrí algunas recetas geniales que se podían hacer con ellas.
    Mi única manía galletera es la de intentar despegar las dos galletas que une el chocolate de las Príncipe de Beukelaer. Desde pequeña ando con la misma historia. Mi hijo alucina: "¿Mama, si te las puedes comer de un solo bocado, para qué las separas?"... Sinceramente, no sé qué responderle...

    Besos!

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  12. De pequeña las comía, pero luego me pasé a la competencia y mis desayunos se acompañan de Digestive. Pero yo las parto por la mitad porque me gusta mojarlas en el café y si no, no entran en la taza :)

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  13. blas, la tarta de galletas y chocolate queda muy bien con las maría. aunque sean redondas, se pueden poner contrapeadas para que no queden huecos. y luego, como se aplastan unas contra otras, no se nota. lo de despegar las dos partes de las príncipe yo también lo he hecho alguna vez, jeje. es difícil separarlas sin partirlas. supongo que la mejor manera es por torsión: sostienes la galleta inferior y giras la superior como si fuera una tapadera de rosca. para eso también es necesario haberlas conservado en un lugar cálido, para que el chocolate esté blandito. :D

    anele, las digestive son muy ricas, también las he comido en alguna época. las hay con una capa de cholate en el lado inferior y las hay sin nada, puras. es verdad que son grandotas, jeje. y aparte de las maría también hay otras similares que son ricas: las marbú, las cuétara doradas... pero las maría son las más puras y sobrias. ideales para cuando estás malo. :)

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  14. Jajajaajaaajajajajajaaajajajjaa!! Exacto.
    Ahora están las "doble chocolate" y resulta relativamente más sencillo.

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  15. Hace un siglo que no como marías, y desde luego yo sí las partía en dos, no porque tenga la boca grande, sino porque al intentar hacer más trozos lo que conseguía era quedarme con un montoncito de migas, seguramente por no saber cuál es el ángulo correcto ;)

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  16. Muchísimas gracias Chema.
    Aunque ya no entro mucho al blog, ayer quise poner algo especial para él.Ayer hizo dos años que se fué.
    Tú y yo tenemos unas locuras muy parecidas....aunque yo no controlo tanto como tú ,me resulta divertido mirar las matématicas de esa manera.

    Tu blog es divertido y singular....me imagino que como tú.
    Un beso Chema.

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  17. shirat, es verdad, desmigan de manera proporcional al número de cortes, y quizá también dependa del ángulo, jeje. hoy en el super he estado a punto de coger un paquete de marbú, que son un poco más mantequillosas que las maría, pero al final lo he dejado.

    olatz, te animo a que sigas publicando cosas en tu blog de vez en cuando. cada vez que veo algo nuevo tuyo siempre me paso. tú eres de bellas artes, así que en cosas de geometría aportas otro enfoque diferente, igual de interesante. mucho ánimo con todo.

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  18. La última foto con esa galleta llena de chocolate... es una visión maravillosa, además viene muy bién después de "una de mates".
    Abrazotes.

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  19. hola arien! sí, una galleta con nocilla da mucha energía. acabo de publicar otra de mates, que no es lo que tenía planeado, pero es que no me dormía, me he puesto a pensar... :)
    abrazos!

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  20. Ese peaassso galleta con chocolate para reponer fuerzas después de una clase magistral de matemáticas es lo mejor de lo mejor, jajaja!!! Yo creo que a todas se nos han puesto los ojos como PLATOS al ver la galleta con su chocolatito en todo su esplendor diciendo; cómeme, cómeme, que estoy mú rica... tengo muchas calorías y contribuyo a rellenar los pequeños depósitos de grasa de tu anatomía, pero... y el ratito tan agradable mientras me comes, quién te lo va a quitar?? Eh???, jajajajajaj....

    Yo como ya ves, es ver estas delicias y ya desvarío un poco, es que soy adicta!! Y el verano está ya mismo a la vuelta de la esquina y es menester cuidarse un poco, pero es tan difícil porque está todo tan bueno!! Por qué todo lo que está bueno engorda?

    Saludos blogueros!!!!!!

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  21. maría, mi madre dice que es una lata eso de que comer engorde. que otras cosas buenas, como ver un paisaje, no engordan, por qué comer sí? :D yo ya tengo asumido que los kilos de más que pueda tener los bajo en verano en santander, recorriéndome la playa de punta a punta a diario después de comer. el resto del año poco se puede hacer, y no viene de una galleta con nocilla, así que se puede caer en la tentación de vez en cuando, jejeje. ;)

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  22. las galletas con nocilla eran mi merienda de peque cada día!! que pena que ahora ya no pueda hacer eso y comerme galletas llenitas de nocilla cada día..

    Te sigo y te invito a que te pases por mi Blog!!

    http://www.ilmiopiccolocapricciobyfabiola.com

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