miércoles, 11 de julio de 2012

el cono

parece que en los planes de estudios de primaria y e.s.o. se da mucha importancia al estudio del cono. yo pensaba que el cono era una figura geométrica sin mayor importancia que cualquier otra, pero en fin... me tendré que poner al día, por si se lo tengo que explicar a mi alumna.

veamos, un cono se puede definir de manera sencilla como la figura geométrica que se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos.

al cortar el cono por un plano que contenga al eje de revolución, la sección será el triángulo isósceles resultante de juntar el triángulo rectángulo que lo ha generado y su simétrico. y al cortarlo por un plano perpendicular al eje de revolución, se obtendrá una sección circular.

llamaremos R al radio de la base del cono, y h a su altura. R y h son los catetos del triángulo rectángulo generador del cono.


a ver, qué cosas nos pueden pedir sobre un cono? ya sé, su volumen. creo recordar que era igual al producto de su base circular por su altura, y todo eso partido por 3. es decir, π·R2·h/3.

vamos a asegurarnos. lo haremos integrando en coordenadas cilíndricas. integraremos ‘discos’ de un radio genérico ρ y de espesor infinitesimal dz.


tenemos que encontrar una relación entre el radio ρ de cada sección del cono y su coordenada vertical z. sabemos que esta relación es de carácter lineal y conocemos el valor del radio en la base y en el vértice del cono. para z=0, ρ=R (base); y para z=h, ρ=0 (vértice).

así pues, la expresión de ρ en función de z será: ρ=R-(R/h)·z


el volumen del cono será, como decíamos, la integral de los volúmenes de los discos de radio ρ y espesor dz. nuestra variable de integración será la coordenada vertical z, y variará entre la base del cono (z=0) y su vértice (z=h).

el volumen de cada uno de los discos será el producto de su área circular (π·ρ2) por su altura (dz). π se puede sacar de la integral al ser una constante. por otro lado, ρ lo sustituimos por la expresión que hemos obtenido más arriba, de tal modo que podamos integrar en z.


desarrollamos aparte la expresión [R-(R/h)·z]2 para poder integrar con más comodidad.


y por fin, integramos. se trata de una integral polinómica cuyo límite inferior (z=0) es nulo, por lo que directamente ponemos su valor en el límite superior (z=h).


que no se nos olvide que habíamos sacado π fuera de la integral. el resultado que hemos obtenido tenemos que multiplicarlo por π. así pues, el volumen del cono será:


curiosamente este valor es un tercio del volumen de un cilindro de radio R y altura h. es fácil comprender que el volumen de un cono es menor que el de un cilindro que tenga la misma base y la misma altura, pero sólo calculandolo hemos podido averiguar cuál es la proporción exacta.

es decir, si imaginamos un cilindro de radio R y altura h y un cono inscrito dentro del mismo con la misma base y altura, el volumen del cono será 1/3 del total, mientras que el volumen de la parte restante, “lo que no es cono”, será 2/3 del total. el volumen del cono es la mitad del volumen del “negativo del cono”. la proporción es 1:2.


disculpadme un momento, que me están diciendo algo por aquí...

me dicen que eso que llaman ‘cono’ que estudian los niños no es el cono como figura geométrica, sino que es una asignatura llamada ‘conocimiento del medio’.

después de todos los cálculos que he hecho... ya me parecía a mí raro. :P

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dejamos por ahora los cálculos matemáticos y los chistes nefastos. :D pasamos a otro asunto: mi amiga anele me ha propuesto un bonito reto que consiste en poner una frase que haya leído últimamente y que me haya llamado la atención. esta propuesta no podía llegar en mejor momento.

la frase es de un personaje ilustre como fue el doctor sigmund freud. más que una frase es un párrafo. creo que no necesita ninguna explicación...

“nunca estamos tan indefensos contra el sufrimiento como cuando amamos; nunca nos sentimos tan desconsoladamente desgraciados como cuando hemos perdido nuestro objeto amado o su amor”.

ahora les paso el testigo a rosana, a wendy y a gen. las tres leéis mucho y sois muy reflexivas, cada una a vuestra manera, y por eso creo que este reto os gustará. :)

13 comentarios:

  1. ¡Ay, Chema! Ya me parecía raro que se le diera tanta importancia al estudio del cono:))) Me he quedado desfasada; ya no sé como llaman los chavales de hoy en día a las asignaturas del cole.
    Me apunto el reto y paso nota a Sadie y Bianca para que se pongan manos a la obra.¡Quiero vacaciones ya!
    Bss!

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  2. No sabes el susto que tenía, jajaj, y además iba en aumento conforme iba leyendo ya que es una entrada muy tuya con formulas incluidas y temía que nos propusieras la disección de alguna figura geométrica ¡Glups!
    Ya veo que es más sencillo y acepto, ahora bien tendrás que darme algo de tiempo, estoy muy liada y apenas tengo tiempo de ponerme delante del pc.
    Un beso.

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  3. gen, yo me he enterado hace poco de que existía esa asignatura. por lo visto es como una mezcla de naturales y sociales... y los niños la llaman 'cono': "tengo que estudiar cono", "hay examen de cono",...
    sadie y bianca son expertas en adoptar todo tipo de roles! ;)

    wendy, mucha gente pensará que esto no es más que un post matemático de los míos -que lo es, por otra parte-, y no imaginan que es una excusa para hacer la gracieta del significado del término 'cono'. :D y al final, el reto de la frase. tómate el tiempo que necesites, y ánimo con el trabajo y con todo. :)

    besos!

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  4. Aquí está!!! Estaba camuflado por mis temidas matemáticas!! XDDDDD

    Sin duda, Freud tenía razón, por supuesto. Todas estas frases encierran una gran sabiduría de pensadores cualificados.
    El amor es un tema que ultimamente me tiene quemada, y me gusta refugiarme en mi profesión, por eso yo he preferido echar mano de mi día a día...

    El amor es ciego, siempre se ha dicho. Y cuando uno ve lo que se niega a creer, la decepción es devastadora.

    Besos

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  5. blas, esa frase si la hubiera dicho cualquier otro autor, pensaría que es cursi o ñoña, pero freud no pecaba de eso precisamente. :D
    así es. cuando una persona te atrae (te late el corazón muy deprisa al verla, piensas en ella a todas horas, etc. etc.) pero te vas dando cuenta de que tiene todas las cosas que no te gustan, no quieres verlo. piensas "por favor, dime que no es verdad. dime que no eres tú".
    besos! y no dejes abandonado tu blog, que siempre cuentas cosas interesantes!

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  6. Con lo del cono me estaba sintiendo una cateta total... lo de conocimiento del medio sí que lo sabía :) y es verdad que los niños lo llaman "cono", es muy curioso.
    La frase es muy buena y totalmente cierta. Las penas de amor son terribles, el peor dolor que hay. Es como un dolor de muelas, un dolor terriblemente agudo y que sin embargo no te mata. (¿Dónde he oído esto últimamente? No me acuerdo.)

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  7. La verdad es que las matemáticas nunca fueron mi fuerte y he estado a punto de pasar de esta entrada...porque dos parráfos más tarde ya estaba perdida, pero soy una persona que cuando empieza a leer algo no para hasta el final...y mira tu por donde el final me sorprende, aunque mi peque estudia "cono" no lo había relacionado para nada con tu entrada jejeje.
    Besossssss.

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  8. shirat, la verdad es que es una de las pocas entradas en las que he puesto integrales. :O pero era necesario, por exigencias del guión, jeje. al trabajar en un colegio, sí habrás escuchado lo del conocimiento del medio.
    se me está pasando ya. supongo que es una defensa de la mente, además es tan obvio que con esa chica no encajaba... pero mientras dura, sí que duele,

    elanor, es que lo del conocimiento del medio me llamó la atención. la palabra 'cono' lo que me sugiere es la figura geométrica. por eso los cálculos sobre el cono eran una excusa para hacer la gracia. :D en mi blog hay de todo, desde cosas de matemáticas hasta la ropa que me he comprado para el verano. ;)

    besos

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  9. Hola Chemist! Se me acaba de ocurrir ese apodo para tí, pero creo que te va, aunque sería mejor llmarte Mathematics, pero Chemist va relacionado,no???? ;P
    Sí, gracias por echarme de menos, ando perdida porque tengo mucho trabajo y por las noches (que es cuando me siento normalmente al ordenador) lo único que me apetece es dormitar frente a la tele o salir a las fiestas de verano.
    Mi hija da "Cono", pero a mí como más me gustan los conos, es debajo de un helado!!!!!!!
    Gracias por lo de lectora y lo de reflexiva. No sé si hareé el reto, pero me encanta que pienses en mí!
    Besos

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  10. Por otra parte, el cono es como un triángulo (mi figura favorita) dando vueltas alrededor de sí mísmo, no??? O sea, un triángulo pre-mareado. je, je,je, otro chiste malo....
    Besitos

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  11. rosana, antes la química no me gustaba mucho (era más de matemáticas y de física), pero ahora la encuentro interesante. el abanico de intereses siempre se va ampliando. :D así que el apodo, me parece muy bien! ;)
    el helado de cucurucho es un cono con una esfera tangente a la base. :D una vez nos pusieron en el colegio un problema de calcular el volumen de uno de esos helados. por cierto, en la heladería regma de santander los tienen riquísimos.
    besotes!!

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  12. Sí, me chiflan, requetechiflan los helados de Regma, la próxima vez que vengas, nos comemos uno!!! Ya te faltará poco, no?
    Besos

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  13. me parece genial!! sí, rosana, pronto voy para allá, ya te avisaré! ;)

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