domingo, 24 de junio de 2012

áreas


siempre me fijo en los dibujos de las baldosas, y me imagino cómo se trazarían sobre un papel con los instrumentos básicos de dibujo: lápiz, compás, regla, escuadra y cartabón.

la baldosa que veis en la foto es de la calle príncipe de vergara de madrid. su diseño consiste en dividir un cuadrado en 16 pequeños cuadrados iguales (4x4) y trazar diversos arcos de circunferencia cuyos centros coinciden con determinados vértices de dichos cuadrados.

desde los vértices marcados con un aspa de color verde (que en el escaneado ha quedado muy oscuro, pero era verde) se trazan dos semicircunferencias como se observa en la figura. y desde los vértices marcados con un aspa de color naranja (que parece rojo, pero era un naranja clarito) se trazan arcos de un cuarto de circunferencia tangentes a las semicircunferencias antes citadas.

de esa manera, hemos formado una figura que a mí me recuerda al logotipo de maggi, y que he coloreado en rosa. el área restante del cuadrado la he coloreado en azul.


las áreas rosa y azul son iguales, pese a que alguna ilusión óptica pudiera indicar lo contrario. una manera de verlo es que, si se yuxtaponen varias de estas baldosas, se formaría con el color azul la misma figura coloreada en rosa. quedaría un mosaico de figuras con esa forma, en rosa y en azul a partes iguales.

pero eso también se puede demostrar de manera analítica. para ello, dado que el dibujo de la baldosa es simétrico en horizontal y en vertical, podemos quedarnos sólo con un cuadrante de la misma. los tres cuadrantes restantes serán sus imágenes especulares respecto a diferentes ejes.

a su vez, este cuadrante lo dividimos en cuatro partes que numeramos del 1 al 4. (1) es azul en su totalidad, (4) es rosa, y (2) y (3) son mixtas.


el área coloreada en azul será la suma del área de (1) más las áreas azules correspondientes a (2) y (3).

llamaremos a al lado de cada uno de los cuatro cuadrados, que coincide con el radio de los arcos de circunferencia existentes.

el área de (1) es el área del cuadrado, igual al producto de sus lados, a2. el área azul contenida en (2) es un cuarto de círculo de radio a, es decir, π·a2/4. y el área azul contenida en (3) es como si dijéramos el ‘negativo’ de un cuarto de círculo de radio a: la diferencia entre el área del cuadrado de lado a y el cuarto de círculo de radio a, esto es: a2–π·a2/4.

se observa que hay dos áreas de un cuarto de círculo que se anulan entre sí, quedando como área total la suma de las áreas de dos cuadrados de lado a, es decir, a2. pero como este análisis lo hemos hecho sólo para un cuadrante de la baldosa, el área azul total será esa cantidad multiplicada por 4, es decir: 4·2·a2=8·a2.


de manera análoga, el área rosa será igual al área de (4) en su totalidad más el área rosa contenida en (2) y (3).

(4) es un cuadrado de lado a, (3) es un cuarto de círculo de radio a, y (2) es el negativo de dicho cuarto de círculo. nuevamente obtenemos como resultado el doble del área de un cuadrado de lado a. extrapolando al área total de la baldosa, multiplicamos este resultado por 4, obteniendo que el área rosa es a2.


así pues, las áreas azul y rosa coinciden. dado que nuestro cuadrado inicial lo habíamos dividido en 16 pequeños cuadrados cuyo lado hemos llamado a, es fácil ver que el área total, que sería igual a 16·a2, se reparte entre los dos colores mitad y mitad: a2 para cada uno.

8 comentarios:

  1. Tu mente privilegiada ¡caramba, lo que consigues ver en las baldosas1 cuando me fijo en ellas (que lo hago) lo que veo son formas que me pueden recordar a cosas o simplemente veo una composición que me resulta bonita, los fabricantes de baldosas estarían encantados contigo, podrías hacer diseños esplendidos.
    Un beso Chema.

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  2. WOW ¿cómo fue que llegué a tus fórmulas de geometría? si solamente estaba caminando imaginariamente viendo variedad de baldosas.

    Un gran beso!!

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  3. Opino lo mismo que Wendy, creo que con la pasión que sientes por la geometría y las matemáticas, podrías diseñar baldosas bellísimas. Me gusta la baldosa de esa calle y me encanta fijarme en esos detalles cuando estoy de visita en otra ciudad.
    Bss!

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  4. Mira que voy por Madrid y por Pinto y piso las baldosas, lógicamente, o las veo si están en las paredes pero no me dicen nada. Madre mía nunca se me habría ocurrido!!!!!!!!!!

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  5. wendy, la baldosa de la que trata este post es muy antigua, la recuerdo de siempre. eran muchos años viéndola, y al final me fijé en la pauta geométrica que seguía. en el interior tiene una roseta octogonal, de la que también podía haber hablado, pero me he centrado más en los arcos de circunferencia. con ellos se pueden crear multitud de formas!

    el drac, la idea de que las dos áreas son iguales es intuitiva en cuanto piensas en ello, pero quería demostrarlo para que no hubiera duda. ahí han entrado en juego las fórmulas, jeje.

    gen, la mayoría de las baldosas tienen dibujos geométricos, si te fijas. luego quizá tengan algún añadido más artístico, pero la base es geométrica. con formas poligonales y circulares se pueden crear fácilmente unos dibujos muy armoniosos. puede ser una buena oportunidad laboral para un futuro! :D

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  6. enigma, esta baldosa, como decía, es de la calle príncipe de vergara, y tu colegio estaba allí! seguro que la has visto. a mí las baldosas no me llaman la atención si son lisas, o si tienen un dibujo muy soso, en plan franjas horizontales paralelas. pero cuando tienen un dibujo que requiera un poco de imaginación, entonces sí.

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  7. A medida que iba leyendo este post pensaba en escribirte lo mucho que me gusta que desmenuces y lleves para tu terreno cosas tan prosaicas como una baldosa, que de matemático no tiene nada a priori. Pero en cuanto te has puesto a dar datos matemáticos de 4=2a por a2, y todas esas fórmulas matemáticas, mi mente hace click y se bloquea, oye! Nada, que se cierra en banda.
    Pero eso de que el color azul ocupa la misma superficie que el rosa aunque no lo parezca, me ha encantado.
    Besitos!!

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  8. rosana, puse en facebook hace tiempo mi dibujo de la baldosa formulando la pregunta de qué área era mayor. lo tuve guardado pensando que era un poco pobre para una entrada del blog, pero cuando me puse a escribir el texto, vi que sí daba juego. a mi alumna le voy a tener que dar clases este verano, igual le pongo un problemilla basado en esto, jeje.
    besos

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