viernes, 18 de mayo de 2012

centros

hace poco he tenido que repasarme el tema de los diferentes centros de los triángulos, para explicárselo a mi alumna de 1º e.s.o.

el baricentro de un triángulo es el punto de corte de sus medianas. las medianas son las líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. el baricentro es el centro de gravedad de un triángulo. es decir, en una figura material de forma triangular, su centro de gravedad coincidiría con su baricentro.

el incentro de un triángulo es el punto de corte de las bisectrices de sus ángulos. el incentro es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo. es decir, aquella circunferencia que se encuentra en el interior del triángulo y que es tangente a sus tres lados. una vez obtenido el incentro, se trazará una perpendicular a cualquiera de los lados del triángulo. el punto de corte será el punto de tangencia. teniendo el centro y un punto, queda definida la circunferencia inscrita.

el circuncentro de un triángulo es el punto de corte de las mediatrices de sus lados. el circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo: aquella circunferencia exterior al triángulo que pasa por sus tres vértices. el radio de la circunferencia circunscrita será la distancia del circuncentro a cualquiera de los tres vértices del triángulo.

el ortocentro de un triángulo es el punto de corte de sus alturas. las alturas son las líneas perpendiculares a cada lado trazadas desde el vértice opuesto.

para hallar cualquiera de estos centros, basta con trazar dos de las líneas que sean necesarias (medianas, bisectrices, mediatrices o alturas) y determinar su punto de corte. si se traza la tercera restante y pasa por el mismo punto, querrá decir que lo hemos hecho bien.

el baricentro y el incentro siempre se encuentran dentro del área del triángulo, sea del tipo que sea. el circuncentro y el ortocentro sólo se hallan dentro del triángulo para el caso de triángulos acutángulos. estos triángulos son aquellos en los que sus tres ángulos son agudos (<90º).

veamos dónde quedan los cuatro centros para el caso de un triángulo acutángulo escaleno. un triángulo escaleno es aquél en el que los tres lados tienen diferente longitud.

en lo sucesivo, en las figuras correspondientes al incentro y al circuncentro se representarán también la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita, respectivamente.





veamos ahora la representación de los centros y las circunferencias correspondientes para un triángulo acutángulo isósceles. los triángulos isósceles son aquellos en los que dos de los lados tienen la misma longitud. y su particularidad en el tema que nos ocupa es que, para el vértice opuesto al lado desigual, la mediana, la bisectriz, la mediatriz y la altura coinciden.





queda un caso muy particular de los triángulos acutángulos, y es el triángulo equilátero: sus tres lados y ángulos son iguales. en un triángulo equilátero, las medianas, bisectrices, mediatrices y alturas coinciden. y por tanto, también coincidirán en un único punto el baricentro, el incentro, el circuncentro y el ortocentro.

aquí lo tenéis representado, con sus circunferencias inscrita y circunscrita.


pasamos ahora a los triángulos rectángulos, que son aquellos en los que uno de los ángulos es recto (=90º). en los triángulos rectángulos, el circuncentro será un punto de la hipotenusa, y ésta será el diámetro de la circunferencia circunscrita; y el ortocentro coincidirá con el vértice correspondiente al ángulo recto, por coincidir dos de las alturas con los catetos.

dentro de los triángulos rectángulos, veamos primero los escalenos.






y ahora el caso del triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son iguales. al coincidir la mediana, la bisectriz, la mediatriz y la altura correspondientes al ángulo recto, la simetría será mayor.





quedan por analizar los triángulos obtusángulos, que son aquellos que tienen un ángulo obtuso (>90º). en este tipo de triángulos, el circuncentro quedará fuera del área del triángulo, “por debajo” del lado mayor, tanto más cuanto más abierto sea el ángulo obtuso. y el ortocentro también quedará fuera del triángulo, “por encima” del vértice correspondiente al ángulo obtuso; más alejado cuanto más abierto sea dicho ángulo. para trazar las alturas, prolongaremos imaginariamente los lados del triángulo cuando sea necesario.

veamos primero el caso de los triángulos obtusos escalenos.





y ahora, los triángulos obtusángulos isósceles. en éstos, el vértice correspondiente al ángulo obtuso, el punto medio del lado mayor, el circuncentro y el ortocentro están alineados.





me resulta curioso que un punto que recibe el nombre de ‘centro’ quede fuera del área de la figura geométrica a la que pertenece. en el caso de esos triángulos en los que su circuncentro y ortocentro quedan fuera de su área, me imagino que están unidos al triángulo mediante hilos invisibles.

11 comentarios:

  1. Ya ves que voy y vengo....pero cuando vuelvo me encanta encontrarte en mi blog.
    Este tema de los centros de los triángulos también lo suelo explicar yo.....es curioso.....cuantas cosas bonitas tiene la geometría, verdad?

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  2. Mira, esto no se me daba mal del todo. Obviamente no me acuerdo absolutamente de na-da, jajajjaja

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  3. olatz, este tema te tiene que gustar. el dibujo geométrico es un punto en común de las matemáticas y del arte. y lo dicho, me alegro de que sigas actualizando tu blog de vez en cuando!

    geno, yo también me lo tuve que repasar, porque no es de las cosas que más he tenido que estudiar. lo di en el colegio más bien de pasada. pero es muy intuitivo, en cuanto lo vuelves a ver te acuerdas, jeje.

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  4. Eres un buen docente,es evidente que te gusta la materia y eso se transmite.
    Ya quedan lejos aquellas clases de geometría.
    Gracias por el consejo, me alegra encontrarte de nuevo.
    Besos.

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  5. wendy, como digo, me alegro mucho de que hayas actualizado tu blog después de una larga ausencia. el nombre yo lo veo muy bien, pero si quieres cambiarlo por otro con el que te sientas más cómoda, ya sabrás cómo hacerlo.
    el dibujo geométrico es un tema muy bonito, y gusta incluso a los que no son muy entusiastas de las matemáticas.

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  6. Hace unos días estuve haciendo limpieza en el trastero y me encontré con una carpeta que contenía láminas de ejercicios de dibujo técnico de mi época estudiantil. Ahora mismo sería incapaz de realizar el más simple de ellos, pero he guardado uno de mis libros de bachillerato por si se me antoja ponerme a ello algún día:)
    Bss!

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  7. A mí también era de lo que más me gustaba, y coger el compás y la escuadra y el cartabón y ponerme a hacer dibujos. Me pasa como a Geno, ahora no sabría hacer ninguno de ellos.

    Por cierto, siempre he pensado que "Isósceles" era un nombre muy divertido para una mascota. No sé por qué, pero me sigue haciendo sonreír.

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  8. gen, yo estuve echando un vistazo a una carpeta con apuntes y exámenes de 3ºbup y cou donde encontré el examen de biología que me dio la idea para esa entrada que publiqué hace días contando que en cou me cambié de biología a dibujo técnico... y encontré muchas láminas de piezas tridimensionales que había que sacar a partir de las vistas. en algunas incluso había que dibujar su sombra proyectada, eso sí que no lo recordaba. haces bien en guardar tu libro, tú eres diseñadora y un día puedes querer hacer alguna incursión en el dibujo técnico. :)

    shirat, 'isósceles' es una palabra de origen griego, y ahora que lo dices, suena como el nombre de algún personaje de la mitología griega, y quedaría simpático para una mascota. ;)

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  9. Chema, qué bonito post! Me ha encantado. Me encantan los triángulos como figura geométrica, no sé por qué pero es mi favorita. Además no tenía ni idea de que hubiera tantos tipos de centros ni de que fueran distintos para cada tipo de triángulo. Lo he debido de olvidar hace mucho tiempo!!! He leído con mucha atención este post, remirado los dibujos y releido las definiciones cuando lo necesitaba para analizar cada imagen.
    Como curiosidad te diré que recuerdo que en 3º de EGB me preguntaron qué era isósceles, y yo respondí: Un filósofo griego. Y me quedé tan pancha, ja, ja, ja, ja.
    Besos!!

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  10. rosana, es que el triángulo es la figura geométrica más básica! todos los polígonos se pueden dividir en triángulos, y las propiedades de muchos polígonos se deducen a partir de las propiedades de los triángulos. el tema de los centros lo estoy descubriendo ahora, porque como dije, ni el colegio ni en la carrera tuve que estudiar esto muy a fondo. incluso después de haber publicado el post, estoy descubriendo cosas de las que no me había dado cuenta antes: cómo se van desplazando el circuncentro y el ortocentro (que son los que más varían su posición) según un triángulo va pasando a ser más largo y estrecho a más achatado... un tema muy curioso, ya digo.
    isósceles es una palabra que tiene la misma sonoridad que los nombres de los filósofos y los héroes griegos, es normal que pensaras que era un filósofo, y más a esa edad!! ;)
    besos!

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  11. Ayyyyy me recuerda la etapa en la ESO de mis hijos o a mis años de insti, qué recuerdos!!!
    Besos.

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