domingo, 14 de agosto de 2011

elipses



en años anteriores no me fijaba demasiado en el muro que separa la playas de la magdalena y los bikinis, pero este verano me está inspirando mucho. ;)

este muro -que también sirve como puente entre las playas y algunas zonas rocosas de la península de la magdalena- tiene unos arcos que permiten el paso de bañistas de un lado a otro. dichos arcos, en su parte superior, tienen forma de elipse.

la forma elíptica se emplea en este tipo de construcciones porque resulta ventajosa desde el punto de vista de la resistencia. pero de esto sabrán más los arquitectos y los ingenieros de caminos. ;)





una elipse es una curva formada por los puntos que cumplen la siguiente condición: la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos y determinados llamados focos es una constante.


para que os hagáis una idea, una elipse es algo más general que una circunferencia. o, dicho de otro modo, una circunferencia es un caso particular de una elipse. en una circunferencia los dos focos coinciden en un punto, que es su centro. y la “suma de las distancias a los focos” sería el doble de su radio.

en una elipse hay tres magnitudes fundamentales, que las designaremos por letras: el semieje mayor (a); el semieje menor (b); y la distancia del centro de la elipse a cada uno de los focos (c).


usualmente se representa la elipse haciendo coincidir su eje mayor con el eje horizontal de coordenadas, y el eje menor con el eje vertical.

hemos dicho que en una elipse la suma de distancias de cualquier punto a los focos es una constante. si averiguamos el valor de esa constante para un punto determinado de la elipse, habremos solucionado el problema porque será el mismo para todos.

tomemos uno de los puntos de la elipse que coincide con el extremo de su eje mayor. la ventaja es que los focos están situados en ese mismo eje.

la distancia de ese punto extremo de la elipse al foco que tiene más próximo, según se observa en la figura, y teniendo en cuenta los parámetros que definen la elipse de los que hemos hablado antes, será a-c. y la distancia al foco más alejado, razonando de forma análoga, será a+c.

la suma de las dos distancias será: a-c+a+c=2·a. por tanto, la constante que buscábamos, el valor de la suma de distancias de cualquier punto de la elipse a los focos, coincide con la longitud del eje mayor de la elipse.


ahora nos gustaría saber cuál es la distancia de uno de los puntos de la elipse que coincide con el extremo de su eje menor a cada uno de los focos.

dada la simetría de la elipse, las distancias del ‘extremo superior’ a ambos focos serán iguales. la suma de las dos distancias será igual a la longitud del eje mayor, 2·a. por lo tanto, cada una de ellas será igual a la mitad de ese valor, es decir, al semieje a.


de ello se deduce una relación muy importante entre las magnitudes de la elipse. tal como refleja la figura, existe un triángulo rectángulo cuyos catetos son b (semieje menor) y c (distancia del centro a los focos), y cuya hipotenusa es a (semieje mayor).

por tanto, como en cualquier triángulo rectángulo, se cumplirá el teorema de pitágoras. en este caso, la suma de los cuadrados del semieje menor y la distancia del centro al foco (catetos) es igual al cuadrado del semieje mayor (hipotenusa).


volviendo al muro de la playa... ;) basándome en esta foto de uno de sus arcos, he marcado la elipse que se forma en su contorno más alejado, para que así se vea más clara. de ese modo en el interior de la elipse queda enmarcado el azul claro del mar y del cielo.



en realidad, el arco sólo es elíptico en su parte superior. es una semielipse que continúa en unas líneas rectas tangentes a la misma.

he indicado las magnitudes a,b,c sin su valor numérico. midiendo sobre el terreno una de ellas, estimando otra mediante el factor de escala del dibujo, y calculando la restante por la relación pitagórica entre ellas, ya las tendríamos. pero, francamente, no me apetece ir a la playa con un rollo de cinta métrica y ponerme allí a medir el arco. :P



os pongo una imagen más detallada del muro con su elipse acotada. por cierto, quizá os hayáis dado cuenta de que entre unas fotos y otras hay diferencias en cuanto a la nubosidad y en cuanto a la marea, y es que las hice en diferentes días. no me convencía cómo habían quedado, y al volver a la playa las repetía. :D

7 comentarios:

  1. Impresionante, como de costumbre.

    La foto final del arco con el diagrama encima te ha quedado genial. Muy gráfico y bien explicado. (Y mucho mejor que presentarte allí con la cinta métrica, en eso estoy de acuerdo contigo... yo tampoco me atrevería)

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  2. Lo que te está dando de sí tu visita a mi tierruca!!! Me encanta que le hagas tanta propaganda, usándola para tus explicaciones!
    Me encantan las figuras geométricas simétricas. Me parecen muy perfectas.... Como siempre, tus desarrollos sobre el tema son interesantísimos..... Qué pena que aún no seas profe. Se te da genial explicar.
    Besos!!

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  3. shirat, me alegro de que te haya gustado! :) tenía entendido que la elipse se utilizaba para este tipo de arcos. también tienen esta forma los túneles de las carreteras, por ejemplo... y por eso tenía claro que lo del muro de la playa era realmente una elipse. ahora bien, tenía que atinar bien para trazar una elipse con el paint que encajara con el arco de la foto. la hice varias veces deshaciendo cada vez (dando a ctrl-z) hasta que al final conseguí que me quedara encajada. :D

    rosana, es que las matemáticas están en la naturaleza, y como en santander hay mucho campo y mar, se las ve aflorar con más facilidad. ;) las elipses siempre me han interesado mucho, aunque nunca se me había ocurrido escribir un post sobre ellas. pueden dar lugar a ecuaciones un poco complicadas, pero aquí sólo he explicado lo más elemental, jejeje. y una elipse, efectivamente es simétrica respecto a sus dos ejes, aunque nos suele interesar más la simetría respecto al eje mayor, porque en él están los focos. ya digo que el tema de las elipses es apasionante! gracias por los piropos!! :)

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  4. ¡Ahora soy experta en elipses!
    Veo que sigues en Santander. Un beso.

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  5. Yo veo un muro con un arco muy bonito que enmarca el mar y también que estás teniendo unas vacaciones estupendas, me alegra mucho Chema.
    Un beso.

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  6. inma, para ser del todo experta en elipses te digo dos cosas más: se llama excentricidad al cociente entre c (distancia del centro al foco) y a (semieje mayor). e=c/a. para una circunferencia es 0. y el área de una elipse es pi*a*b. es análoga a la del círculo, en el cual los dos semiejes son iguales al radio. ahora ya sabes todo lo importante!! ;)

    wendy, me alegro de que hayas actualizado tu blog, acabo de comentar. es verdad que a veces la belleza está en las cosas más simples, como los muros de la playa, a través de cuyos arcos se ve el otro lado de la playa como si fuera un cuadro... seguro que en mis paseos descubro más cosas a las que pueda sacarles punta para hacer un nuevo post. :)

    besos

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  7. por cierto, en mi dibujo hay un fallo. la flecha verde de acotación de la distancia del extremo del eje menor al foco -distancia igual al semieje 'a'- la hice de una sola punta, cuando tendría que haber sido de doble punta, grrr... pero bueno, supongo que se entiende igual. ;)

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