martes, 8 de marzo de 2011

número áureo (2)

era cuestión de tiempo que hablara de la célebre sucesión de fibonacci. la pauta de esta sucesión numérica es que cada término se obtiene como la suma de los dos anteriores. fue ideada por leonardo de pisa -conocido por el sobrenombre de fibonacci- con el objetivo de estimar el número de ejemplares de una población de conejos formada a partir de una pareja.



veamos cómo se forma esta sucesión. llamaremos f(n) a cada término, siendo ‘n’ un número entero que indica el lugar que ocupa en la sucesión. como se ha explicado antes, cada término se obtiene sumando los dos anteriores. al término 0 (en las sucesiones numéricas a menudo se le da al primer término el subíndice 0) y al término 1 se les asignarán los valores 0 y 1, respectivamente. a partir de ahí ya se puede aplicar la regla de sumar los dos anteriores.

f(0)=0
f(1)=1

f(2)=f(0)+f(1)=...........0+1=....1
f(3)=f(1)+f(2)=...........1+1=....2
f(4)=f(2)+f(3)=...........1+2=....3
f(5)=f(3)+f(4)=...........2+3=....5
f(6)=f(4)+f(5)=...........3+5=....8
f(7)=f(5)+f(6)=...........5+8=...13
f(8)=f(6)+f(7)=..........8+13=...21
f(9)=f(7)+f(8)=.........13+21=...34
f(10)=f(8)+f(9)=........21+34=...55
f(11)=f(9)+f(10)=.......34+55=...89
f(12)=f(10)+f(11)=......55+89=..144
f(13)=f(11)+f(12)=.....89+144=..233
f(14)=f(12)+f(13)=....144+233=..377
f(15)=f(13)+f(14)=....233+377=..610
f(16)=f(14)+f(15)=....377+610=..987
f(17)=f(15)+f(16)=....610+987=.1597
f(18)=f(16)+f(17)=...987+1597=.2584
f(19)=f(17)+f(18)=..1597+2584=.4181
f(20)=f(18)+f(19)=..2584+4184=.6765
f(21)=f(19)+f(20)=..4181+6768=10946
f(22)=f(20)+f(21)=.6768+10949=17711
f(23)=f(21)+f(22)=10949+17717=28657
f(24)=f(22)+f(23)=17717+28666=46368
f(25)=f(23)+f(24)=28666+46383=75025


como se puede apreciar, esta sucesión crece muy rápidamente. hemos mostrado tan sólo 25 términos, y con uno más que añadiéramos ya nos situaríamos en las centenas de millar.

el crecimiento de esta sucesión es tan pronunciado que se asemeja a una exponencial. qué es una exponencial? es una función en la que un número constante va elevado a una potencia, que es la variable. kx es una exponencial. k es la base, y es una constante. x es el exponente, y es la variable. cuando k, la base, sea un número mayor que 1, la función tendrá un crecimiento muy pronunciado para valores de x -el exponente- de 1 en adelante.

por otro lado, se cumple una interesante propiedad. vamos a hallar el cociente incremental de la función para dos valores: uno, el inicial; y otro, el inicial más una cantidad: x; x+Δx. recordemos que para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes.

kx+Δx/kx = kΔx

el resultado de ese cociente, como vemos, es la base elevada a la cantidad en que se incrementa la variable. en caso de que la sucesión de fibonacci se asemeje a una exponencial, los incrementos de la variable para nosotros serán 1 siempre, porque al tratarse de una sucesión de números enteros, se va saltando de 1 en 1. así, por tanto, Δx será 1, y cualquier base elevada a 1 es la misma base. buscamos que al dividir cada término entre el anterior se obtenga algo parecido a una constante, que será la base de la exponencial a la que se aproximará la sucesión.

así pues, partiendo de los datos de la tabla anterior, vamos a calcular el cociente entre cada término y el anterior, y veamos qué se obtiene.

f(2)/f(1)=..........1/1=1
f(3)/f(2)
=..........2/1=2
f(4)/f(3)
=..........3/2=1.5
f(5)/f(4)=..........5/3=1.66666666667
f(6)/f(5)=..........8/5=1.6
f(7)/f(6)=.........13/8=1.625
f(8)/f(7)=........21/13=1.61538461538
f(9)/f(8)
=........34/21=1.61904761905
f(10)/f(9)=.......55/34=1.61764705882
f(11)/f(10)=......89/55=1.61818181818
f(12)/f(11)=.....144/89=1.61797752809
f(13)/f(12)=....233/144=1.61805555556
f(14)/f(13)=....377/233=1.61802575107
f(15)/f(14)=....610/377=1.61803713528
f(16)/f(15)=....987/610=1.61803278689
f(17)/f(16)=...1597/987=1.61803444782
f(18)/f(17)=..2584/1597=1.61803381340
f(19)/f(18)=..4181/2584=1.61803405573
f(20)/f(19)=..6765/4181=1.61803396317
f(21)/f(20)=.10946/6765=1.61803399852
f(22)/f(21)=17711/10946=1.61803398502
f(23)/f(22)=28657/17711=1.61803399018
f(24)/f(23)=46368/28657=1.61803398821
f(25)/f(24)=75025/46368=1.61803398896


os habéis fijado en que el valor de la relación entre cada término y el anterior, aumenta y disminuye alternativamente, pero esas ‘oscilaciones’ se van haciendo cada vez menores, hasta que por fin parece estabilizarse en torno a un cierto valor? vamos a tomar el último resultado de la tabla, que si bien no es el número exacto al que convergen estos cocientes (para eso se necesitarían infinitos términos), lo suponemos lo suficientemente aproximado.

1.61803398896. este número no nos suena de algo? no se parece al número áureo? vamos a calcular su valor exacto con ayuda de la calculadora para salir de dudas. recordemos que el número áureo era (1+√5)/2. el resultado es...

1.61803398875. pues sí! al dividir cada término de la sucesión de fibonacci por el anterior se obtiene un valor que se aproxima cada vez más al número áureo, cuanto más avanzados sean los términos que tomemos. el número áureo también está detrás de la sucesión de fibonacci.

llamaremos Φ al número áureo, como hicimos en la entrada anterior dedicada a este tema. podemos concluir que la función exponencial a la que se asemeja la sucesión de fibonacci es la que tiene por base el número áureo, es decir, Φx? pues casi. lo más probable es que esté multiplicada por una constante que no esté afectada por el exponente x. tendrá, por tanto, la forma C·kΔx.

efectivamente, se sigue cumpliendo la misma regla de que el cociente incremental es igual a la base elevada al incremento de la variable. la constante C se cancela en el numerador y en el denominador. este caso no lo habíamos contemplado antes para no descentrarnos de la idea que queríamos transmitir, pero ahora conviene tenerlo presente.

(C·kx+Δx)/(C·kx) = kx

para hallar el valor de esta constante multiplicativa que diferencia a la sucesión de fibonacci de la exponencial cuya base es el número áureo, vamos a comparar los valores de la sucesión y de la función. se comprueba fácilmente que los valores de la exponencial son mayores que los de la sucesión, por lo que calcularemos el valor del cociente entre la primera y la segunda. lo haremos así, simplemente porque se tiende a dividir lo más grande entre lo más pequeño, y al obtener como cociente un número mayor que 1, será más fácil identificarlo como la raíz cuadrada de un número entero, o cualquier otra cosa que pueda salir.

n....f(n)....Φn..............Φn/f(n)
1........1...1.61803398875...1.61803398875
2........1...2.61803398875...2.61803398875
3........2...4.23606797750...2.11803398875
4........3...6.85410196625...2.28470065542
5........5...11.0901699438...2.21803398876
6........8...17.9442719101...2.24303398875
7.......13...29.0344418539...2.23341860414
8.......21...46.9787137640...2.23708160780
9.......34...76.0131556179...2.23568104757
10......55...122.991869382...2.23621580693
11......89...199.005025000...2.23601151684
12.....144...321.996894382...2.23608954431
13.....233...521.001919382...2.23605973982
14.....377...842.998813764...2.23607112403
15.....610...1364.00073315...2.23606677564
16.....987...2206.99954692...2.23606843658
17....1597...3571.00028007...2.23606780215
18....2584...5777.99982699...2.23606804448
19....4181...9349.00010706...2.23606795192
20....6765...15126.9999341...2.23606798727
21...10946...24476.0000412...2.23606797377
22...17711...39602.9999753...2.23606797893
23...28657...64079.0000165...2.23606797696
24...46368...103681.999992...2.23606797772
25...75025...167761.000009...2.23606797742


de manera similar a como ocurría en la tabla anterior, los términos que obtenemos oscilan al comienzo para estabilizarse después en torno a un cierto valor. tomamos el último de ellos, que suponemos lo bastante aproximado a juzgar por la escasa diferencia en decimales obtenida respecto a los términos anteriores más próximos.

2.23606797742. se parece bastante a la raíz cuadrada de 5, cifra que nos suena al haber tenido que hallar el valor del número áureo con la calculadora: (1+√5)/2. pero, por si queda alguna duda, calculamos √5, y nos sale: 2.23606797750.

por tanto, cuando se toma un número de términos lo suficientemente alto, la exponencial cuya base es el número áureo se aproxima a la sucesión de fibonacci multiplicada por la raíz cuadrada de 5.

Φx ≈ √5·f(n)

o bien, para referir esta igualdad a la sucesión de fibonacci, podemos decir que la sucesión es igual a la exponencial dividida entre la raíz cuadrada de 5.

f(n) ≈ Φx/√5

en la siguiente tabla comparamos los valores de la sucesión de fibonacci y de la exponencial del número áureo dividida entre raíz de 5, y comprobamos que a los pocos términos se hacen muy próximas. si se quisiera representar en dos gráficas superpuestas la sucesión y la función, la diferencia sería muy difícil de apreciar.

n....f(n)....Φn/√5
1........1...0.72360679775
2........1...1.17082039325
3........2...1.89442719100
4........3...3.06524758425
5........5...4.95967477527
6........8...8.02492235950
7.......13...12.9845971348
8.......21...21.0095194943
9.......34...33.9941166290
10......55...55.0036361231
11......89...88.9977527524
12.....144...144.001388875
13.....233...232.999141628
14.....377...377.000530503
15.....610...609.999672132
16.....987...987.000202636
17....1597...1596.99987477
18....2584...2584.00007740
19....4181...4180.99995217
20....6765...6765.00002957
21...10946...10945.9999817
22...17711...17711.0000113
23...28657...28656.9999931
24...46368...46368.0000046
25...75025...75025.9999973



en esta gráfica he representado de forma aproximada la sucesión de fibonacci, basándome en la similitud con la exponencial de la que hemos hablado. pinchando sobre ella se puede ver ampliada. como vemos, es una gráfica extremadamente estrecha y alta, lo que da una idea del ritmo de crecimiento de esta sucesión.

así pues, ya hemos descubierto el secreto de cómo evoluciona el número de conejitos de una camada. de vez en cuando nace un ejemplar con cualidades excepcionales, pero esos fenómenos ya no se explican con la sucesión de fibonacci ni con el número áureo... o sí? ;)



p-d: la viñeta de ‘alicia en el país de las maravillas’ es de la gran trini tinturé. y la primera ilustración que aparece en la entrada, alguien es capaz de adivinar de quién es? es de otro famoso dibujante español, si queréis os iré dando más pistas... ;)

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y ahora pasamos a otro tema. cloti me ha concedido hace poco este bonito premio con forma de copa deportiva. está acompañado de un entretenido meme que consiste, esta vez, en contar siete secretos sobre uno mismo. paso a hacerlo a continuación. gracias, cloti, por pensar en mí!! :)



1. no sólo me gustan los coches antiguos, sino que tengo el sueño recurrente de que los veo y me da pena no llevar la cámara para fotografiarlos. :P

2. cada vez tengo más vértigo y más acrofobia. si tuviera hijos acabaría loco de estar todo el día tras ellos diciéndoles “no te subas ahí”, “no te arrimes allá”...

3. desde que salí de la universidad y abandoné la rutina de los exámenes en febrero, junio y septiembre, a veces pierdo la noción del tiempo y me quedo por un instante preguntándome en qué época del año estamos. :S

4. me canso mucho más caminando despacio o estando de pie que caminando deprisa.

5. la electricidad y el electromagnetismo en física son temas que nunca entendí del todo, aunque supiera hacer los problemas. no “veía” el sentido físico de aquello, y sigo sin verlo... es un tema para una próxima entrada.

6. me gusta hacer mis propias recopilaciones de grandes éxitos de grupos de los que soy muy fan, para mí mismo o para regalar a alguien.

7. tengo varias chicas por ahí que me hacen tilín. no quiero fijarme exclusivamente en una, en la variedad está el gusto. ;)

bien, ahora debo pasar este premio a quien yo quiera. en esta ocasión, se lo voy a conceder a wendy. te ha tocado!! y seguro que das respuestas interesantes al meme, si te animas a hacerlo. :)

14 comentarios:

  1. El punto número cuatro no es ninguna tontería. En realidad yo no me canso más, simplemente me duele la espalda a pie parado o caminando despacio, así que nuestros paseos parecen carreras de marcha atlética XDDDD
    Lo de las fechas de exámenes tampoco lo es. Los que hemos sido alumnos muchos años organizamos nuestro año por curso, no te cuento ya los profes, años de costumbre.
    Bssssssss
    Cloti

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  2. Chema, mira que me interesa lo de la sucesión FIbonacci y el número aureo, pero tras unas cuantas filas ya no he sido capaz de seguirte! Ya sabes que las mates no son lo mío!!!
    El test me lo he leído, sin embargo, para conocerte mejor!
    Besitos

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  3. Confieso que me he saltado todo lo de Fibonacci, pereza númerica, snif.
    ¿Fuiste al Retromóvil de la Casa de Campo el mes pasado? con lo que te gustan los cohces antiguos no deberías perdértelo, hay auténticas joyitas expuestas perfectamente restauradas.

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  4. Interesantes los siete secretos, jeje y muy bonito el dibujo de Trini. Confieso que lo de Fibonacci lo empecé a leer pero no lo terminé (cada vez estoy más segura de que por Ciencias no hubiera sacado ni una jejejeje)

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  5. ¡Ala! Chema, que apuro, compartes tu premio conmigo y llego tarde, bueno, he estado dos dias seguidos de guardia, esta semana está siendo más intensiva y la razón es que me voy a tomar unos días libres la que viene, me voy a Valencia a ver a mi familia y a disfrutar un poco de las fallas, el caso es que venía a avisarte y míra la sorpresa que me has dado :D, muchas gracias guapo, eres un cielo.
    A ver, de los números aureos no entiendo nada, lo intento pero no hay manera, no importa he disfrutado con las imágenes con que ilustras el post.
    Me llevo el premio encantada y como no voy a tener tiempo de subirlo te cuento algunos de mis secretos, coincido contigo en la noción del tiempo, para mí siguen contando los ciclos del curso académico,tengo fóbias y la que más me aterra es la claustrofóbia que puedo llegar a sentir, tampoco me gusta estar de pie en cambio caminar es una de mis aficiones, y ya no cuento más que ya no me quedan secretos confesables.
    Bueno Chema, lo dicho, nos leemos a la vuelta y muchas gracias por el premio, me hace ilusión que te hayas acordado de mí.
    Un beso grande, grande.

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  6. cloti, cuando voy de viaje con mis padres y vamos juntos andando a su ritmo, acabo el día tan cansado que duermo como un tronco, en esos casos no tengo problemas de insomnio, jejeje.

    rosana, pensaba que esta entrada sería más breve, pero al final me lié yo solito con los números, reconozco que me encantan. :D alguna que otra vez hice un test parecido, y en esta ocasión he contado secretos diferentes, pues los que ya conté, ya no son secretos, jejeje.

    anele, no sabía lo de esa exposición, qué pena! me habría inflado a hacer fotos. tengo en mi ordenador un album de fotos de coches antiguos que he ido haciendo aquí y allá. cualquier día las cuelgo todas en un album de facebook. :D

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  7. geno, tú habrías reconocido la viñeta de alicia dibujada por trini seguro, aunque no lo dijera, jeje. pero nadie se anima a intentar adivinar de quién es la ilustración de arriba, la del conejo con gafas!! ;)

    wendy, espero que lo pases muy bien en valencia. nosotros veremos las fallas desde la televisión, me acordaré de ti. :)
    la próxima entrada sobre el número áureo te gustará más, tratará sobre espirales y caracolas.
    gracias por hacer el cuestionario! cuidado con la claustrofobia, no te subas a un ascensor si no lo ves muy fiable, no es broma. :S al igual que cloti, tú eres profesora, así que también tomarás como referencia los años académicos.
    besos y pásalo muy bien!!

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  8. !Anda! La de vueltas que dí al número aúreo cuando en el foro de Esther planteó aquel problema si solución, no sé si fue Remi o Susana.
    Lucía

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  9. El dibujo muy bonito y el resto muy interesante ;-)

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  10. Me da verguenza propia que te curres tantísimo una entrada y que yo no dea capaz de seguirla. Es ver números y mi cabeza se resiste, la muy obtusa.

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  11. lucía, ya me acuerdo, el problema que le pusieron a la hija de susana riesgho en el colegio, que consistía en encontrar la relación entre una figura geométrica muy enrevesada y un famoso cuadro... eso era imposible! en cuanto al número áureo, fíjate si está presente en aspectos dispares de la naturaleza, que las dos entradas que le he dedicado son totalmente diferentes, y la tercera, que tratará sobre espirales, a su vez será diferente a las otras dos. :)

    rousi, me gusta poner dibujos simpáticos en este tipo de entradas 'científicas', porque así se hacen más accesibles, jejeje. por cierto, el de los conejitos es de escobar, el dibujante de zipi y zape. lo comenté en facebook, pero creo que no te tengo agregada aún...

    inma, no te preocupes, al menos lo has intentado. ;) dentro de poco escribiré una entrada sobre los átomos, la electricidad y la relatividad, que todo eso yo tampoco lo entiendo, así que os servirá de consuelo. :D

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  12. Tienes madera de profe...Siempre y cuando el aula no esté en un piso muy alto,ejej.A mi lo de fibonacci me presta saberlo - con dificultad- porque,lo conté en un post,Tool sigue esas sucesiones.
    En el punto 4 estamos por completo de acuerdo.Pienso q depende con quién vayas,a veces es mejor ir solo (por si van muy lentos o se paren mucho).
    El punto 7 yel mejor.QUEREMOS ENTRADA COTILLA AL RESPECTO,jajaja.
    :-)

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  13. perín, me lo pasé pipa construyendo estas tablas calculadora en mano, el resto del post salió solo. ;) en cuanto al punto 7, pues sí, es que cada una tiene su encanto, y ya se sabe, elegir es renunciar. eso no puede ser. :D

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  14. Soy de letras... ni siquiera me atrevo a continuar leyendo más allá del segundo párrafo...

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