domingo, 8 de noviembre de 2009

pi



el número pi (π) es por definición el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. una circunferencia se puede definir como el conjunto de puntos de un mismo plano cuya distancia a cierto punto llamado centro es la misma.

pues bien, del cociente entre la longitud de esa línea cerrada tan perfecta que es la circunferencia y la longitud de su diámetro -la línea que pasa por su centro y que se prolonga hasta tocar a la circunferencia en sus dos puntos opuestos-, se obtiene un misterioso número con infinitas cifras decimales que no forman nunca ninguna pauta que se repita periódicamente. π es igual a 3.14159265359... y muchos más decimales, infinitos más.


π nunca se podrá obtener como una suma de números racionales -es decir, cocientes de números enteros-. no como una suma finita, ojo! sí se puede con una suma infinita que siga una cierta pauta, y eso es lo vamos a tratar de obtener.

lo primero que hay que saber es qué es un radián. los radianes sirven para medir ángulos, son unidades de ángulo. un radián por definición es el ángulo que, teniendo su vértice en el centro de una circunferencia, intercepta un arco cuya longitud es igual a su radio. ese ángulo, en grados, equivale a 57.2957795..., algo menos de 60º para que os hagáis una idea.


necesitamos pasar algunos ángulos de grados a radianes. a cuántos radianes equivale la circunferencia completa, es decir 360º? eso se obtiene haciendo una regla de tres. si un ángulo de 1 radián intercepta un ángulo de longitud igual al radio de la circunferencia (R), cuántos radianes harán falta para que la longitud del arco sea la de la circunferencia completa (2·π·R)? serán 2·π radianes.



nos va a interesar especialmente el ángulo de 45º, veremos por qué. 45º es la mitad del ángulo recto (90º), la cuarta parte del ángulo llano (180º), y la octava parte del ángulo completo (360º). por tanto, si 360º son 2·π radianes, 45º serán la octava parte: π/4 radianes.



vamos ahora con otra cosa que nos vendrá bien saber: la tangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo (es decir, un triángulo en el cual uno de sus ángulos sea recto), por definición, es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a ese ángulo.

para un ángulo de 45º, esa tangente sería 1, puesto que los dos catetos son iguales para ese ángulo. imaginad un cuadrado cortado por su diagonal... el ángulo que se forma es de 45º.



ahora empieza lo bueno. hay una función matemática que se llama arcotangente. por definición, la arcotangente de un número x nos da el ángulo cuya tangente es x.

la derivada de la función arcotangente es una función que aparentemente no tiene nada de geométrico ni de trigonométrico. es un simple cociente de polinomios: 1/(1+x2).



vamos a ver qué pasa si dividimos el numerador y el denominador como lo que es, un simple cociente de polinomios. se obtiene una suma infinita, un polinomio de infinitos términos, que siguen una pauta: los exponentes de la variable x son pares, y se van alternando los signos +: un término se suma y el siguiente se resta, y así sucesivamente.



nos gustaría poder expresar la función arcotangente como un polinomio infinito similar al anterior. si 1/(1+x2) es la derivada respecto a x de arctg(x), entonces arctg(x) será la integral -es decir, la inversa de la derivada- de 1/(1+x2).



lo que haremos será hallar la integral del polinomio de infinitos términos que hemos obtenido para 1/(1+x2).  la integral de la suma será la suma de las integrales de cada uno de los términos, con su signo correspondiente.

se observa que en este caso la expresión también sigue una pauta: los exponentes son impares, cada término va dividido por un número que es igual a su exponente, y los signos + van alternándose como en el caso anterior.



ésa es la expresión obtenida para arctg(x). veamos qué valor tendría para x=1. sería equivalente a una suma alterna de fracciones muy sencilla: 11/3+1/51/7+1/9... es decir, 1 partido por todos los números impares, y alternando los signos: uno sumando, el siguiente restando, y así sucesivamente.



por otro lado, sabemos cuánto vale la arcotangente de 1, es decir el ángulo cuya tangente es 1. ese ángulo es 45º, es decir π/4 radianes. por tanto, podemos igualar π/4 a esa suma de fracciones.



de aquí se puede despejar π, multiplicando por 4 en el otro miembro de la ecuación. por tanto, hemos obtenido una manera de calcular cuánto vale el número π, con toda la aproximación que se quiera, mediante una combinación de números enteros: 4 multiplicado por la suma alternada de 11/3+1/51/7+1/9–1/11+1/13... y así hasta el infinito.


se puede comprobar que si se van sumando términos de esta serie, cada vez se va aproximando más a π. el problema es que tarda en converger, es decir, hay que sumar muchos términos para que empiece a parecerse un poco al número π que todos conocemos. de manera que, si alguna vez necesitáis calcular la longitud de alguna línea circular, es más práctico que recordéis que π es aproximadamente 3.1416. no os aconsejo que hagáis todo esto. :D una cosa son las curiosidades y otra cosa es la vida práctica. :D

15 comentarios:

  1. Te vamos a tener ue llamar Profesor Pitagorín!!

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  2. Valeeeeee... A esto es a lo que me refiero con que solo hablo de lo que entiendo... Ahora es cuando tengo cara de pez. No me he enterado de nada, y no porque lo expliques mal, al contraire, mas bien es que no salgo de que pi es igual a 3,1416... Buuuaaaaaaaa!!!

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  3. Qué te pasó Chemita?, jaja. Eres matemático?, sabías que cuando estaba en tercero de BUP pensé en estudiar Matemáticas, luego llegó COU y otras dificultades varias. Ahora, con mi cabeza de Loli-mamá saturada, agotada, soy incapaz de resolver un problema, hace unos años, con mi cabeza de Loli-persona hubiese disfrutado mucho de la explicación y sus ecuaciones. )-: Besos. Loli

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  4. Chema, no he podido leerlo, las matemáticas me dan alergia, y ahota no quiero ponerme malita.
    Te admiro

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  5. Chema, creo que se ha vuelto a perder mi comentario. Te lo repito más o menos:
    Decía que yo he empezado a sudar frío en cuanto he visto el título. He pasado rapidito rapidito por encima de todos esos números y fórmulas matemáticas y no he podido leerlo tampoco. Yo tambien tengo alergia a las mates. Son superiores a mis fuerzas niño... uno de mis puntos flacos...

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  6. Lo he intentado, lo he intentado, te lo prometo... he llegado hasta donde acabas de explicarnos como dar con el nº pi (o sea los dos primeros parrafos) despues me he perdido tan rapidamente, que me ha dado miedo, pero miedo de verdad...
    Lo dicho eres un genio con los numeros...

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  7. Y explicando eres bueno... se nota que te encantan las matemáticas.... pero, a mí también me perdía cuando lo leía, no porque tuú explique mal, sino porque aunque había cosas de las matemáticas que me gustaban de pequeña... había otras que se me atravesaban... pero también es interesante cuando cuentas alguna cosita así...

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  8. Nada, Chema, que te has juntado con un plantel de "de letras" y esto de las matemáticas nos viene grande, jajajjajaja. Leer, lo he laido ¿eh? qu eno se diga pero me suena a chino, jejeje

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  9. Pues aunque soy de ciencias, la rama sanitaria por fortuna no se mete muy de lleno en las matemáticas.
    Te serè sincera: me lo he pasado de largo, que hoy es fiesta y me daba pereza lo de las ecuaciones.

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  10. ESTO LO DI EL PASADO CURSO EN 1º DE MAGISTERIO, ME ENCANTÓ DARLO, y me acuerdo q me encantaba darlo en el cole. y desde lkuego te veo muy puestecito en estas lides... jajaajaa. un beso.
    lo de los post se me arregló solo, como tu decías, o de dmomento eso parece. un beso fuerte

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  11. Puffff, otra de letras. Somos unas cuantas las que tenemoslas mates atravesadas eh?? Pero de aqui con lo que me quedo es con tu pasión por las matemáticas y lo que disfrutas enseñando.

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  12. Cuando he llegado a la parte de los catetos me he sentido como una idem. O sea. Una cateta. A partir del siguiente párrafo he empezado a delirar.

    No sabes cuánto siento tu soledad entre tantas amantes de las letras. Yo las mates las dejé en segundo de B.U.P. para ir por letras puras y estudiar latín y griego, que era lo que de verdad me gustaba.

    De todas formas, estas entradas suelen ser muy interesantes para repasar cosillas. Por ejemplo lo de los radianes, que no es muy complicado y yo lo había borrado totalmente de mi mente.

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  13. Pero si estás aquí! que alegría volver a encontrarte! ya te puse en favoritos! Yo desde que cambiaron lo de los spaces me quité, no lo entendía y era un rollo.
    Me alegro muchísimo de verte.
    Un besazo guapo!

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  14. susana, qué alegría saber de ti!! yo también te he buscado muchas veces. ahora te agregaré a mis favoritos. veo que tu blog 'whispering wind' es el antiguo importado, más lo que hayas añadido. por cierto, espero que estés mejor de tu pierna.

    shirat, cuando estaba en 1ºbup no entendía del todo la equivalencia entre grados y radianes, cuando es una cosa muy sencilla, es una regla de tres. eso demuestra la importancia de que los profesores sepan explicar las cosas bien.

    susana, eso es verdad, me gustan mucho. tal vez por eso recuerdo todas estas cosas aunque haga tiempo que no las practico. si algún día llego a ser profe, estos posts me habrán servido de entrenamiento. :P

    teresa, la carrera de magisterio tiene que estar muy bien, porque habrá un poco de ciencias, un poco de humanidades... en la carrera esta serie en concreto que suma pi no la dimos, pero sí otras muchas parecidas.

    anele, hiciste bien, que los días de fiesta están para descansar, jajaja. y además hay derivadas y todo... cuando las dimos en 2ºbup por primera vez, era aprenderse una tabla de memoria, no me gustaba...

    geno, ya veo que aquí las letras dominan, jejeje. ya tiene mérito que lo hayas leído. es que en el momento en que hablo de la derivada de la arcotangente, es normal que suene a chino. :O

    nuria, es que estas cosas me gustan mucho. de vez en cuando hago alguna entrada de este tipo, pero sólo de vez en cuando para no saturar. tal vez le sirva a algún estudiante. :)

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  15. kira, es lo que digo, lo del principio más o menos creo que lo puede entender cualquiera, pero cuando empiezo a hablar de derivadas... :D además esa derivada de la arcotangente es de las que menos lógicas parecen en un principio.

    ana, es verdad, es que ya el título del post, tan explícito, y esa imagen de pi tan grande dan miedo, jejeje. pero bueno, para la vida práctica son muy pocas las mates que hay que saber. sumar y restar, y poco más. ;)

    inma, no lo leas entonces, la salud es lo primero, jajaja. de todos modos, hay profesores de matemáticas tan malos, que no me extraña que tanta gente luego les coja manía. :P

    loli, soy de la rama de ciencias pero no soy matemático. aunque, igual que tú, ésa era la carrera que quería estudiar cuando estaba en mis últimos años de colegio. y no te preocupes, que esto como curiosidad puede estar bien, pero es mucho más intersesante la vida de adulto en la que no hay más matemáticas que sumar y restar de vez en cuando. :)

    blas, pues ya sabes algo, jejeje. siempre me he preguntado por qué pi, viniendo de una figura geométrica tan perfecta, no es un número más redondito. qué cosas.

    ruth, pitagorín es un personaje del dibujante peñarroya, como ya sabrás, jajaja. pero no, yo no me parezco a ese niño. era muy aplicado y muy ordenadito con todo, yo soy un caos. :D

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